Lösung Symmetrie nachweisen

Vorbemerkung:

1. Für die angegebenen Funktionsgleichungen ist jeweils \(\mathbb{R}^*\) der maximale Definitionsbereich \(\bold{D}\).
2. Diese Zahlenmenge ist zur y-Achse symmetrisch, denn mit \(x\in \mathbb{R}^*\) gilt stets auch \(-x\in \mathbb{R}^*\). Damit ist gezeigt, was verlangt war (alias q.e.d.).
   \(\emph{Expliziter:}\) Es sei ein \(x\in \bold{D}\) gegeben, d.h. \(x\in \mathbb{R}^*\), also gilt \(x\in \mathbb{R}\) und \(x\ne 0\). Daraus folgt \(-x\in \mathbb{R}\) und \(-x\ne 0\), also gilt \(-x\in \mathbb{R}^*\), d.h. \(-x\in \bold{D}\).
3. Wenn ein Funktionsgraph K_f symmetrisch zum Ursprung und symmetrisch zur y-Achse ist, dann muss die Funktion eine Nullabbildung (\(x\mapsto 0\)) sein.
   \(\emph{Expliziter:}\) Nach Voraussetzung gilt die Termkette \(-f(x)=f(-x)=f(x)\), also \(-f(x)=f(x)\) bzw. \(0=2\cdot f(x)\) bzw. \(f(x)=0\).
4. Die Funktionen in den Teilaufgaben sind offensichtlich keine Nullabbildungen, also ist jeder Nachweis der Symmetrie zum Ursprung zugleich ein Nachweis, dass keine Symmetrie zur y-Achse vorliegt, und umgekehrt ist jeder Nachweis der Symmetrie zur y-Achse zugleich ein Nachweis, dass keine Symmetrie zum Ursprung vorliegt.

Teilaufgaben:

1. Es gilt \(f(-x)=\frac{5}{-x}=-(\frac{5}{x})=-f(x)\) für jedes \(x\in \bold{D}\), also ist K_f symmetrisch zum Ursprung.
   Es zeigt \(f(-1)=\frac{5}{-1}=-5\ne 5=\frac{5}{1}=f(1)\), dass K_f nicht symmetrisch zur y-Achse ist.
2. Es zeigt \(f(-1)=\frac{5}{-1}+1=-4\ne -(6)=-(\frac{5}{1}+1)=-f(1)\), dass K_f nicht symmetrisch zum Ursprung ist.
   Es zeigt \(f(-1)=\frac{5}{-1}+1=-4\ne 6=\frac{5}{1}+1=f(1)\), dass K_f nicht symmetrisch zur y-Achse ist.
3. Es gilt \(f(-x)=\frac{5}{(-x)^2}=\frac{5}{x^2}=f(x)\) für jedes \(x\in \bold{D}\), also ist K_f symmetrisch zur y-Achse.
   Es zeigt \(f(-1)=\frac{5}{(-1)^2}=5\ne -(5)=-(\frac{5}{(1)^2})=-f(1)\), dass K_f nicht symmetrisch zum Ursprung ist.
4. Es gilt \(f(-x)=\frac{5}{(-x)^2}+1=\frac{5}{x^2}+1=f(x)\) für jedes \(x\in \bold{D}\), also ist K_f symmetrisch zur y-Achse.
   Es zeigt \(f(-1)=\frac{5}{(-1)^2}+1=6\ne -(6)=-(\frac{5}{(1)^2}+1)=-f(1)\), dass K_f nicht symmetrisch zum Ursprung ist.