Lösung Symmetrie nachweisen

Vorbemerkung:

1. Für die angegebenen Funktionsgleichungen ist jeweils \(\mathbb{R}^*\) der maximale Definitionsbereich \(\textbf{D}\).
2. Diese Zahlenmenge ist zur y-Achse symmetrisch, denn mit \(x\in \mathbb{R}^*\) gilt stets auch \(-x\in \mathbb{R}^*\).
   \(\emph{Expliziter:}\) Es sei ein \(x\in \textbf{D}\) gegeben, d.h. \(x\in \mathbb{R}^*\), also gilt \(x\in \mathbb{R}\) und \(x\ne 0\). Daraus folgt \(-x\in \mathbb{R}\) und \(-x\ne 0\), also gilt \(-x\in \mathbb{R}^*\), d.h. \(-x\in \textbf{D}\).
3. Bei Bearbeitung der Teilaufgaben zeigen wir eine vorliegende Symmetrie jeweils durch eine allgemeine Rechnung und zeigen eine Nicht-Symmetrie jeweils durch ein (Gegen-)Beispiel. - Dieses Vorgehen ist zum Teil redundant, denn die Funktionen in den Teilaufgaben sind offensichtlich keine Nullabbildungen und es können nur Nullabbildungen beide Symmetrien haben.
   \(\emph{Expliziter:}\) Wenn ein Funktionsgraph K_f symmetrisch zum Ursprung und symmetrisch zur y-Achse ist, dann muss die Funktion eine Nullabbildung (\(x\mapsto 0\)) sein. Denn nach Voraussetzung gilt die Termkette \(-f(x)=f(-x)=f(x)\), also die Gleichungen \(-f(x)=f(x)\) bzw. \(0=2\cdot f(x)\) bzw. \(f(x)=0\).

Teilaufgaben:

1. Es gilt allgemein \(f(-x)=\frac{5}{-x}=-(\frac{5}{x})=-f(x)\) für jedes \(x\in \textbf{D}\), also ist K_f symmetrisch zum Ursprung.
   Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel \(f(-1)=-5\ne 5=f(1)\), dass K_f nicht symmetrisch zur y-Achse ist.
2. Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel \(f(-1)=-4\ne -6=-f(1)\), dass K_f nicht symmetrisch zum Ursprung ist.
   Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel \(f(-1)=-4\ne 6=f(1)\), dass K_f nicht symmetrisch zur y-Achse ist.
3. Es gilt allgemein \(f(-x)=\frac{5}{(-x)^2}=\frac{5}{x^2}=f(x)\) für jedes \(x\in \textbf{D}\), also ist K_f symmetrisch zur y-Achse.
   Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel \(f(-1)=5\ne -5=-f(1)\), dass K_f nicht symmetrisch zum Ursprung ist.
4. Es gilt allgemein \(f(-x)=\frac{5}{(-x)^2}+1=\frac{5}{x^2}+1=f(x)\) für jedes \(x\in \textbf{D}\), also ist K_f symmetrisch zur y-Achse.
   Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel \(f(-1)=6\ne -6=-f(1)\), dass K_f nicht symmetrisch zum Ursprung ist.