Lösung Kosten- und Erlösfunktion

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/03 17:24

Das Schaubild der Erlösfunktion ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung 10.
Um das Schaubild der Erlösfunktion zu zeichnen, erstellen wir (mit dem Taschenrechner) eine Wertetabelle und zeichnen die Punkte ins Koordinatensystem und verbinden sie anschließend.
Da sich die Graphen der beiden Funktionen in etwa an den Stellen und schneiden, sind Kosten und Erlös an beiden Stellen ungefähr gleich groß.
Alternativ sehen wir auch durch Rechnung, dass die Funktionswerte an beiden Stellen fast gleich groß sind:
$\begin{align} K(1)&=0,2\cdot 1^3-1^2+4\cdot1+8=0,2-1+4+8 \\ &=11,2 \\ &\approx E(1)=10\cdot1=10 \end{align}$
$\begin{align} K(8)&=0,2\cdot 8^3-8^2+4\cdot8+8=102,4-64+32+8 \\ &=78,4 \\ &\approx E(8)=10\cdot8=80 \end{align}$
Wir erhalten die Gewinnfunktion , indem wir vom Erlös die Kosten abziehen, das heißt
$\begin{align} G(x)&=E(x)-K(x) \\ &=10x-(0,2x^3-x^2+4x+8)=10x-0,2x^3+x^2-4x-8 \\ &=-0,2x^3+x^2+6x+8 \end{align}$
Mit einer Wertetabelle können wir feststellen, dass die Funktion ihr Maximum bei etwa (5|38) hat (Genauer bei etwa (5,24|38,16)).
Der maximale Gewinn beträgt also 38 GE.
Es gilt $K_{neu}(1)=10=E(1)$ und $K_{neu}(8)=80,14\approx 80=E(8)$ . Somit sind für 1 ME und 8 ME Kosten und Erlös gleich groß. Die Gewinnzone liegt also unverändert zwischen und .
Die neue Gewinnfunktion ist
$\begin{align} G(x)&=E(x)-K(x) \\ &=10x-(1,88x^2-6,9x+15,02)=10x-1,88x^2+6,9x-15,02 \\ &=-1,88x^2+16,9x-15,02 \end{align}$
Da eine nach unten geöffnete Parabel ist, wissen wir, dass das Maximum der Funktion der Scheitelpunkt ist. Dieser liegt genau zwischen den beiden Nullstellen von .
Der Gewinn ist genau dann 0, wenn der Erlös genauso groß ist wie die Kosten.
Da wir bereits wissen, dass die Erlös- und Kostenfunktion an den Stellen und $x_2\approx 8$ gleich groß sind, sind dies die Nullstellen der Funktion .
Das Maximum liegt genau zwischen den beiden Nullstellen der Funktion, das heißt an der Stelle $x=\frac{1+8}{2}=4,5$ .
$G(4,5)\approx 22,96$
Der maximale Gewinn beträgt also in etwa 22,96 GE und bleibt somit nicht gleich.