a) Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass die linke Seite der Gleichung genau dann 0 ist, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist. Der Faktor \((2x-2)\) wird 0 für \(x=1\) (\(2x-2=0 \ \Leftrightarrow \2x=2 \ \Leftrightarrow \ x=1\)).
Der Faktor \((x+4)\) wird 0 für \(x=-4\) (\(x+4=0 \ \Leftrightarrow \ x=-4\)).
Somit sind die Lösungen der Gleichung \(x_1=1\) und \(x_2=-4\) jeweils mit Vielfachheit 1.
b)
\[\begin{align}
(x+3)^2 &=25 \quad \quad \ \mid \pm \sqrt \\
\Leftrightarrow \ \quad \quad x+3 &=\pm 5 \quad \quad \mid -3 \\
\Leftrightarrow x_1 =2; \ x_2 &= -8
\end{align}\]
Die Lösungen der Gleichung sind 2 und -8 jeweils mit Vielfachheit 1.
c)
\[\begin{align}
& \quad \quad 3x^2+4 &&=\frac{1}{2}x+4 &\mid -4 \\
& \Leftrightarrow 3x^2 &&=\frac{1}{2}x &\mid -\frac{1}{2}x \\
& \Leftrightarrow 3x^2 -\frac{1}{2}x &&= 0 \\
& \Leftrightarrow x(3x-\frac{1}{2}) &&=0
\end{align}\]
Mit dem Satz vom Nullprodukt ergibt sich \(x_1=0\) und \(x_2=\frac{1}{6}\) (\( 3x-\frac{1}{2}=0 \ \Leftrightarrow \ 3x=\frac{1}{2} \ \Leftrightarrow \ x=\frac{1}{6}\)).
Die Lösungen besitzen beide die Vielfachheit 1.