Lösung Parabel aus drei Punktproben

Haupt-, Scheitel(punkts)-, Produktform. Bestimme aus folgenden Wertetabellen (je drei Wertepaare) jeweils die quadratische Funktion.

Alle Nullstellen sind bekannt. Es empfiehlt sich, mit der Produktform anzusetzen:
\(f_1(x)=a(x-1)(x-2)\)
Punktprobe mit \(P(3|1)\): \(f_1(3)=1 \Rightarrow a(3-1)(3-2)=1 \Rightarrow 2a=1 \Rightarrow a=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f_1(x)=\frac12(x-1)(x-2)\)
 

Hier sind ebenfalls ale Nullstellen bekannt. Außerdem kann der Scheitelpunkt \(S(2|1)\) abgelesen werden. Ansatz also wahlweise mit Produkt- oder Scheitelform.
Mit Scheitelpunkt sieht das so aus: \(f_2(x)=a(x-2)^2+1\)
Der Funktionswert an der Stelle 1 links von der Scheitelstelle ist 1 weniger als der an der Scheitelstelle. Der Streckungsfaktor ist also -1.
\(\Rightarrow f_2(x)=-(x-2)^2+1\)
Den Wert für a hätte man alternativ durch Einsetzen des Punktes \(A(1|0)\) oder \(B(3|0)\) ausrechnen können
 

Der Scheitelpunkt \(S(2|0)\) liegt auf der x-Achse und ist damit gleichzeitig eine doppelte Nullstelle. Die Scheitelpunktform und die Produktform sehen in diesem Fall exakt gleich aus:
\(f_3(x)=a(x-2)^2\)
Eins neben dem Scheitelpunkt ist der Funktionswert 2 statt \(1^2=1\), also ist der Streckungsfaktor \(a=2\)
\(\Rightarrow f_3(x)=2(x-2)^2\)
 

Parabeln sind immer achsensymmetrisch zur Geraden \(x=x_S\). Wenn \(f_4\) an den Stellen 1 und 3 den gleichen Funktionswert hat, muss die Scheitelstelle genau mittig dazwischen liegen, also bei \(x=2\). Der Funktionswert an den Stellen 1 und 3 ist 2 und damit zwei weniger als \(y_S\). Der Streckungsfaktor a ist also -2.
\(\Rightarrow f_4(x)=-2(x-2)^2+4\)
 

Hier sind weder Nullstellen, noch Symmetrien und auch kein y-Achsenabschnitt bekannt. Es sieht so aus, als müsste man mit 3 Punktproben ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten aufstellen. Wenn man sich die Wertetabelle genauer anschaut, sieht man, dass es einen schnelleren Weg gibt. Der vertikale Abstand zwischen den Stellen 1 und 2 ist \(-1=-1^2\), der zwischen 1 und 3 ist \(-4=-2^2\). Also muss \(S(1|2)\) der Scheitelpunkt sein und der Streckungsfaktor -1.
\(\Rightarrow f_5(x)=-(x-1)^2+2\)