Lösung Funktionsterm aus Transformationen

Version 11.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/22 15:17

Streckung in y-Richtung mit dem Faktor $-\frac{1}{2}$ , Verschiebung in y-Richtung um
$g(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2^x - 5$
Spiegelung an der y-Achse, Streckung in y-Richtung mit dem Faktor , Verschiebung in y-Richtung um
$g(x) = 1{,}5 \cdot 2^{-x} + 1$
Streckung in x-Richtung mit dem Faktor $0{,}5=\frac{1}{2}=\frac{1}{b}$ (also ) Verschiebung in y-Richtung um
$g(x) = 2^{2x} - 2$

Anmerkung (Strategiebox)

Grundfunktion erkennen: Die Ausgangsfunktion lautet in der Regel $f(x) = a \cdot q^x + d$ mit $q > 0, q \ne 1, a \ne 0$ .

2. Transformationen analysieren: Identifiziere Spiegelungen, Streckungen und Verschiebungen – jeweils in x- oder y-Richtung.

3. Transformationen in y-Richtung:
   - Streckung/Stauchung/Spiegelung: Multiplikation mit dem Faktor vor dem Exponentialausdruck.
   - Verschiebung: Addition/Subtraktion eines Werts → ergibt eine horizontale Asymptote y = d .
   - Beispiel:
     $g(x) = -3 \cdot q^x + 2$
     → Spiegelung an der x-Achse, Streckung mit 3, Verschiebung um +2

4. Transformationen in x-Richtung: Diese wirken im Exponenten der Basisfunktion.
   - Streckung/Stauchung der x-Achse durch Multiplikation des Exponenten:
     z. B. $f(x) = q^{k \cdot x}$
     – mit $ k > 1 $ ⇒ gestaucht,
     – mit $ 0 < k < 1 $ ⇒ gestreckt.
   - Verschiebung in x-Richtung durch Subtraktion im Exponenten:
     z. B. $g(x) = q^{x - c}$

5. Zusammenhängende Exponenten beachten: Die beiden Transformationen in x-Richtung (Streckung/Stauchung und Verschiebung) ergeben gemeinsam:
$q^{k(x - c)}$
→ beide wirken integriert auf das Verhalten der Funktion.

6. Funktionsterm zusammensetzen: Kombiniere alle Transformationen zum Term:
$g(x) = a \cdot q^{k(x - c)} + d$

7. Graph analysieren oder skizzieren:
   - Lage und Verhalten der Asymptote: y = d
   - Startwert bei x = 0 , Verhalten für große x
   - Monotonie, Wende- oder Extremstellen bei Bedarf prüfen