Lösung Aussagen
- \(f(0)=\frac{2}{3}\cdot e^0+4=\frac{2}{3}\cdot 1+4=4,\! \overline{6} \neq 4\)
Die Aussage ist falsch. Das Schaubild schneidet die y-Achse bei \(y=4,\! \overline{6}\). Gleichsetzen mit 0:
\(\begin{align*} 0&\overset{!}{=}\frac{2}{3}\cdot e^x+4 &&\mid -4 \\ -4&=\frac{2}{3}\cdot e^x &&\mid :\frac{2}{3} \\ -6&=e^x \quad ↯ \end{align*}\)Da die e-Funktion keine negativen Werte annehmen kann, erhalten wir einen Widerspruch. Somit besitzt das Schaubild keine Nullstellen.
Die e-Funktion geht für \(x\rightarrow -\infty\) gegen \(0\). Somit gilt
\(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\left(\frac{2}{3}\cdot e^x+4\right)=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\left(\frac{2}{3}\cdot e^x\right)+4=\frac{2}{3}\cdot 0+4=4\)
und die Aussage ist wahr. Der Graph nähert sich für \(x\rightarrow -\infty\) seiner Asymptote \(y=4\) an.Alternativ kann man auch damit begründen, dass \(f(x)\) durch Verschiebung um 4 (und Streckung mit dem Faktor \(\frac{2}{3}\)) in y-Richtung aus dem Graphen der e-Funktion vorgeht. Da der Graph der e-Funktion sich für \(x\rightarrow -\infty\) seiner Asymptote \(y=0\) annähert, muss \(f(x)\) sich seiner Asymptote \(y=4\) annähern.
Ebenso kann man mit einer Skizze des Graphen von \(f(x)\) argumentieren.- \(f(1)=\frac{2}{3}\cdot e^1+4=4+\frac{2e}{3}\)
Die Aussage ist wahr.