Mathebrücke Anforderungsbereich I

Aufgabe 1  Richtig oder falsch

Wähle die richtige(n) Aussage(n) aus und begründe deine Entscheidung.

Dividiere 30 durch \(\frac{1}{2}\) und addiere zum Ergebnis 15.
☐ 30, weil \(15 + 15 = 30\)
☐ 75, weil \(15 + 60 = 75\)
☐ 22,5, weil \(45 : 2 = 22,5\)
☐ 75, weil \(\frac{1}{2}\) 60mal in die 30 passt und \(60 + 15 = 75\)

Aufgabe 1  Aufstellen von Termen

Gib an, welche der unten aufgeführten Rechenausdrücke zu folgender Aufgabe passt:
Subtrahiere vom Produkt der Zahlen 12 und 17 die achtfache Differenz der Zahlen 50 und 28.

1. \(12\cdot 17-8 \cdot 50-28\)
2. \((12+17)-8\cdot 50-28\)
3. \(12\cdot 17-8 \cdot (50-28)\)
4. \((12+17)-8-(50-28)\)
   

Aufgabe 1  Was gehört zusammen

Ordne dem Sachverhalt in der linken Spalte den passenden Term aus der rechten Spalte zu. 

Aufgabe 1  Falsche Termumformungen 𝕃

i) Begründe, dass die folgenden Termumformungen falsch sind, indem du ein geeignetes Zahlenbeispiel einsetzt.
ii) Korrigiere jede falsche Termumformung (Hinweis: e) nicht).
iii) Untersuche, ob es besondere Zahlenbeispiele gibt, für die die ursprünglich falsche Termumformung zufällig dennoch richtig ist.
  

1. \(a-(b-c)=a-b-c\)
2. \(p\cdot (q\cdot r)= (p\cdot q)\cdot (p\cdot r)\)
3. \((a+b)^2=a^2+b^2\)
4. \((-a)^2=-a^2\)
5. \(\frac{1}{x+y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
6. \((2a + 3) \cdot (8 + 4b) = 16a + 12b\)

Aufgabe 2  Summe gesucht 𝕃

Das Ergebnis einer Addition von Brüchen ist \(\frac{19}{24}\). Bestimme einen Rechenausdruck, wie die Summe zustande gekommen sein kann.

Aufgabe 2  Termumformungen 𝕃

Löse die Klammern auf und fasse zusammen („vereinfache“):
1.a) \(2(4a - 5) - 3(2a - 3) + 4(-3a + 5)\)
1.b) \(x - (x + 3) - 4(-x + 1)\)

2.a) \(6a - 2(7b - (4a + 3b)) + 2((2a - b) - 7a)\)
2.b) \(2x + 3(4 - (2x + 1) + 3x)\)

Multipliziere aus und vereinfache:
3.a) \((3a + b)(a - 5b)\)
3.b) \((4x - 3)(-x + \frac{1}{3})\)

4.a) \((2x + y)^2\)
4.b) \((x - 3y)^2\)
4.c) \((x^2 - 2)(x^2 + 2)\)
4.d) \((3 - x)^2 - (x + 1)^2 + 2(x - 1)(x + 1)\)

Klammere aus („Faktorisiere“):
5.a) \(12ax^2 - 8ax\)
5.b) \(3x^2 - 12\)
5.c) \(\frac{3ax^2 - 3a}{9x + 9}\)

Aufgabe 2  Zuordnungsaufgabe Faktorisieren 𝕃

Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.

Aufgabe 2  Zuordnungsaufgabe Binome 𝕃

Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.

Aufgabe 3  Lösen von linearen Gleichungen 𝕃

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.

Aufgabe 3  Richtig oder falsch? 𝕃

Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
\(\frac{x}{y} = \frac{1}{4}\). 

☐ \(x\) muss 1 sein, weil im Bruch auf der rechten Seite der Gleichung 1 im Zähler steht.
☐ \(y\) ist das Vierfache von \(x\), weil es auf der rechten Seite der Gleichung auch so ist.
☐ \(x\) ist dreimal so groß wie \(y\), weil 4 – 1 = 3.
☐ \(y\) darf auf keinen Fall den Wert Null annehmen.

Aufgabe 4  Umsatzsteigerung 𝕃

Ein Betrieb hatte 2010 einen Umsatz von 325.000 €.
Im Jahr 2011 sank der Umsatz um 18 %.
Für das Jahr 2012 meldet der Betriebsleiter eine Umsatzsteigerung von 25 %.

1. Berechne den Umsatz für das Jahr 2012.
2. Ermittle, um wie viel Prozent sich der Umsatz von 2010 bis 2012 verändert hat?

Aufgabe 4  Zinsrechnung 𝕃

Peter legt ein Kapital von 4000 € bei der Bank an. Dieses Kapital wird mit 2,5 % verzinst. Die Zinsen werden jährlich mitverzinst.

1. Berechne den Betrag, der Peter nach sechs Jahren zur Verfügung steht.
2. Paul möchte beim gleichen Kapital denselben Endbetrag schon nach vier Jahren ausbezahlt bekommen.
   Ermittle, welchen Zinssatz ihm seine Bank bieten muss.

Aufgabe 4  Richtig oder falsch? 𝕃

Bestimme die richtige (n) Aussage (n). Begründe deine Entscheidung.

Der Preis für einen Pullover wird erst um 20 % erhöht und anschließend um 20 % gesenkt. Gib an, wie sich der ursprüngliche Preis verändert.

☐ Der Preis bleibt gleich, da \(100\% + 20\% = 120\%\) und \(120\% - 20\% = 100\%\)
☐ Der Preis ist höher, da der Grundwert nach der Preiserhöhung höher ist.
☐ Der Preis ist niedriger, da der Grundwert vor der Preiserhöhung niedriger ist.
☐ Der Preis ist niedriger, weil der Prozentwert nach der Preiserhöhung höher ist.

Aufgabe 5  Kirschen 𝕃

Auf dem Markt in Rottweil sind Kirschen im Sommer relativ teuer.
Familie Schneider aus Rottweil fährt nach Lahr, um dort Kirschen selbst zu pflücken.
Wann lohnt sich die Fahrt, wenn man von folgenden Randbedingungen ausgeht?

Gib an, welche weiteren Überlegungen könnten für oder gegen eine Fahrt nach Lahr sprechen?

Aufgabe 5  Skiurlaub 𝕃

Die beiden Freunde Stefan und Jens wollen gemeinsam in den Skiurlaub fahren. Ihnen liegen zwei Angebote vor:

Die Preise sind jeweils in Landeswährung angegeben. Wechselkurs: Für 1 Euro erhält man 1,20 Schweizer Franken (CHF).

Berechne wie hoch die Ersparnis in Euro ist, wenn die beiden in die Schweiz fahren?

Aufgabe 6  Ablesen im Weg-Zeit-Diagramm 𝕃

Anna besucht ihre Freundin und läuft anschließend wieder nach Hause.

1. Gib an, wie lange Anna braucht, um bei ihrer Freundin anzukommen.  ... Minuten
2. Gib an, wie weit ihre Freundin entfernt wohnt.    ... Meter
3. Gib an, wie lange sie bei ihrer Freundin bleibt.    ... Minuten
4. Gib an, wann Anna wieder zu Hause ankommt.    Nach ... Minuten
5. Gib an, wie viele Meter sie insgesamt zurückgelegt hat.    ... Meter
   

Aufgabe 7  Wertetafeln 1 𝕃

Gib an, welche Wertetafel zu einer linearen Funktion gehört.
Zusatz (aus BPE 3.5): Ermittle gegebenenfalls die Gleichung der Geraden.

1. \(x\)	-3	-2	-1	0
   \(y\)	-25	-20	-15	-10

2. \(x\)	-1	0	1	2
   \(y\)	-2	0	2	4

3. \(x\)	-1	0	1	2
   \(y\)	1	2	4	8

Aufgabe 8  Darstellung von Geraden 𝕃

Gegeben sind die Geraden \(g_1\) und \(g_2\):
\(g_1: y=-\frac{1}{2}x+1\)
\(g_2: 2y=x+1\)

Begründe, warum die rechts abgebildete Gerade weder \(g_1\) noch \(g_2\) darstellt.

Aufgabe 8  Zeichnen von Geraden 𝕃

Zeichne die Gerade mit der Gleichung \(y=a\cdot(x-2)+3\) für

1. \(a=1\)
2. \(a=-1\)
3. \(a=\frac{1}{2}\)
4. \(a=-\frac{3}{4}\)
   

Aufgabe 8  Achsen beschriften 𝕃

Bestimme eine Beschriftung für die Koordinatenachsen mit geeigneten Einheiten so, dass die eingezeichnete Gerade die Gleichung \(y=2x+1\) hat.

Aufgabe 8  Zeichnen von Geraden 2 𝕃

Zeichne die Gerade mit der Gleichung \(a\cdot x+2y=5\) für

1. \(a=1\)
2. \(a=-1\)
3. \(a=2\)
4. \(a=0\)
   

Aufgabe 9  Tims Schnittpunktberechnung 𝕃

Tim hat folgende Aufgabe als Hausaufgabe bekommen:
Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden

Tims Lösung sieht folgendermaßen aus:

Ansatz: "Gleichsetzen"

Untersuche die Lösungsschritte und entscheide, ob das Ergebnis richtig
oder falsch ist. Korrigiere falls nötig.

Aufgabe 9  Schnittwinkel von Geraden 𝕃

Gegeben sind die Geraden \(g_1: y=\frac{1}{2}x+2\) und \(g_2: y=3x-3\).

1. Begründe, warum sich die beiden Geraden schneiden.
2. Zeichne die Geraden in ein Koordinatensystem und messe jeweils den Steigungswinkel (Winkel zur positiven x-Achse) ab.
3. Berechne jeweils den Steigungswinkel von \(g_1\) und \(g_2\).
4. Berechne den Schnittwinkel der Geraden \(g_1\) und \(g_2\).
   Messe diesen in deiner Zeichnung nach.

Aufgabe 10  Aufstellen von Geradengleichungen 𝕃

Bestimme jeweils eine Gleichung der Geraden.

1. Die Gerade \(g\) mit der Steigung \(m = 2\) verläuft durch den Punkt \(P(-1|2)\).
2. Die Gerade \(h\) verläuft durch die Punkte \(A(2|0)\) und \(B(-1|3)\).
3. Die Gerade \(k\) schneidet die x-Achse in \(x = -3\) und die y-Achse in \(y = 4\).

Aufgabe 11  Einkommenssteuer 2025

Beträgt das zu versteuernde Jahreseinkommen mehr als 68 480 € und weniger als 277 826 €, wird die Einkommensteuer (in Euro) berechnet nach der Vorschrift
                   \( 0,42\cdot x\ –\ 10\ 912\).
Dabei ist \(x\) das zu versteuernde Einkommen.

1. Berechne, wie viel Einkommensteuer (in Euro) man bezahlt, wenn das Einkommen 72 882 € beträgt.
2. Berechne, wie viel Prozent des Einkommens das sind.
3. Berechne, wie viel Steuer man mehr zahlen muss, wenn das Einkommen 100 € höher ist.
   Gib an, wieviel Prozent von den 100 € Mehreinkommen das sind.

Zusatz: (Evtl. Potenzfunktionen mit negativen Exponenten erforderlich)
Begründe, warum der in b) berechnete Prozentsatz bei steigendem Einkommen größer wird.

Aufgabe 11  Lösen von linearen Ungleichungen 𝕋  𝕃

Bestimme jeweils grafisch und rechnerisch die Lösungsmenge folgender Ungleichungen:

1. \(-2x + 3 < 5\)
2. \(3(x + 4) \geq 6\) 
3. \(5 - 3x > 4(x - 0,5)\)
4. \(6 + 3(x - 1) \leq 4(x + 3(x - 1)) - 8x\)

Aufgabe 12  Lösung zweier Gleichungen 𝕃

Gegeben sind die beiden Gleichungen

Gib an, ob es ein Zahlenpaar \((x|y)\) gibt, das für beide Gleichungen eine Lösung darstellt?

Aufgabe 12  LGS mit zwei Variablen 𝕃

Eine zweistellige Zahl wird um 18 kleiner, wenn man ihre Ziffern vertauscht. Die Zahl ist so groß wie das Siebenfache ihrer Quersumme. Ermittle die Zahl.

Hinweis: Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern einer mehrstelligen Zahlen. Zum Beispiel wäre die Quersumme von 108: 1+0+8=9

Aufgabe 5  Quadratische Gleichungen 𝕋  𝕃

Berechne die Lösungsmenge in \(G = \mathbb{R}\).

Aufgaben mit Lösungsformel:

Sonderfälle:

Aufgabe 5  Zuordnungsaufgabe quadratische Gleichungen 𝕃

Ordne den Gleichungen die richtige(n ) Lösung(en) aus den Auswahlmöglichkeiten zu. Trage dazu a), b) und/oder c) in das Lösungsfeld ein.

Aufgabe 5  Leos Lösung 𝕃

Die Gleichung \(\frac{2}{x-1}+2=\frac{6-2x}{x^2-1}\) war als Hausaufgabe zu lösen.
Leo behauptet: \(\text{L}=\{-3;1\}\)
Was hältst du von seiner Lösung?

Aufgabe 5  Richtig oder falsch? 𝕃

Wähle die richtige(n ) Aussage(n ) aus und begründe deine Entscheidung.

Wie viele Lösungen hat die folgende quadratische Gleichung?
\(x^2 + 9 = 0\)

☐ Eine Lösung: \(x = -3\), da \(-3^2 = -9\)
☐ Zwei Lösungen: \(x_1 = 3, \ x_2 = -3\), da beides zum Quadrat \(-9\) ergibt
☐ Keine Lösung, da die Diskriminante negativ ist.
☐ Keine Lösung, da man die Wurzel aus Null nicht ziehen kann. 

Aufgabe 6  Familientreffen 𝕃

Familie Müller trifft sich jedes Jahr an Heilig Abend zum gemeinsamen Weihnachtsfest. Jeder kommt mit vielen Geschenken und unter dem Weihnachtsbaum wird es langsam eng.
Bei der Bescherung werden insgesamt 306 Geschenke ausgepackt, denn jeder hat für jedes Familienmitglied genau ein Geschenk mitgebracht.
Wie viele Familienmitglieder treffen sich zum Weihnachtsfest? Begründe deinen Lösungsweg.

Aufgabe 9  Koordinaten ablesen 𝕃

Die Abbildung zeigt die Parabel mit der Gleichung \(y=-x^2-2x+2\)

1. Bestimme für welche Werte \(y=2\) gilt.
2. Bestimme welcher y-Wert zu \(x=1\) gehört.
3. Gib den Parabelpunkt an, bei welchem der y-Wert am größten ist.

Aufgabe 13  Wurf 𝕋  𝕃

Ein Kugelstoßer stößt eine Eisenkugel. Die Bahn der Kugel ist eine Parabel.

Die Gleichung  \(y = -0,06x^2 + 0,9x + 1,7\)  beschreibt die Bahn.
\(x\) gibt den Abstand vom Abwurf in Meter an, \(y\) ist die Höhe über dem Boden.

Bestimme wie weit der Kugelstoßer stößt.

Aufgabe 14  Nullstellen 𝕃

Welche der Zahlen \(-2; 0; 4; 6\) sind Nullstellen der Parabel mit der Gleichung \(y=\frac{1}{2}x^2-x-4\)?

Aufgabe 14  Parabelgleichung bestimmen 𝕃

Gib eine zugehörige Parabelgleichung an.

1. Eine Parabel schneidet die x-Achse an den Stellen \(x=-1\) und \(x=1\).
2. Eine Parabel schneidet die x-Achse an der Stelle \(x=3\).

Aufgabe 14  Theorie Schnittpunkt Parabel und Gerade 𝕃

Kreuze jeweils an, ob die Aussage richtig oder falsch ist.
Stelle die falschen Aussagen richtig!

1. Eine Gerade, die eine Kurve K berührt, nennt man Tangente an K.
   ☐ richtig       ☐ falsch
2. Wenn bei der Schnittpunktberechnung von Gerade und Parabel die Diskriminante null wird, dann besitzen die beiden Kurven keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
   ☐ richtig       ☐ falsch   
3. Eine Parabel und eine Gerade schneiden sich, wenn bei der Schnittpunkt-berechnung entweder die Diskriminante positiv oder null wird.
   ☐ richtig       ☐ falsch   
4. Eine Gerade, die eine Parabel zweimal schneidet, heißt Sekante.
   ☐ richtig       ☐ falsch
5. Jede Parabel, die oberhalb einer Geraden liegt kann verschoben werden, so dass sie einen oder auch zwei Schnittpunkte mit der Geraden hat.
   ☐ richtig       ☐ falsch

Aufgabe 18  Flächeninhalt eines Dreiecks 𝕃

Der Punkt \(P(1|-3)\) ist der Eckpunkt eines zur y-Achse symmetrischen Dreiecks mit der Spitze im Ursprung. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Aufgabe 18  Richtig oder falsch? 𝕃

Wähle die richtige(n) Aussage(n) aus und begründe deine Entscheidung.

Ein quaderförmiges Schwimmbecken mit der Länge a, der Breite b und der Tiefe c soll gefliest werden. Nach welcher Formel kann die zu fliesende Fläche berechnet werden?

☐ \(ab + 2ac + 2bc\)
☐ \(2a^2 + 2b^2 + c^2\)
☐ \(5abc\)
☐ \(2ab + 2ac + 2bc\)

Aufgabe 7  Zuordnungsaufgabe Potenzgesetze 𝕃

Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.

Aufgabe 7  Fehlerteufel 𝕃

Tim stellt seinem Nachhilfeschüler Kevin zwei Aufgaben.
Welcher der angegebenen Terme stellt die richtige Umformung dar?
Erläutere bei a), welche Fehler gemacht wurden. 

1. Löse die Klammer auf:
   1. \((5ab)^3\)
   2. \(5a^3b^3\)
   3. \(125a^3b\)
   4. \(125a^3b^3\)
   5. \(15a^3b^3\)
   6. \(5ab^3\)
2. Vereinfache soweit wie möglich:
   1. \(v^6:v^{n-6}\)
   2. \(v^{-n}\)
   3. \(v^{n+12}\)
   4. \(v^{-1+n}\)
   5. \(v^{12-n}\)
   6. \(v^{n-12}\)

Aufgabe 7  Rechnen mit Potenzen 𝕋  𝕃

1. Fasse zusammen:
   1. \(3a^2 + 5b^3 - 2a^2 + c^2 + 2b^3\)
   2. \(2xy^2 + 8x^2 + y^2x - 2x^2 + xy^2 + 2y^2x\)
   3. \(2(4x)^2 + 2 - 6x^2 - (3x)^2 - 6x - 1\)
2. Wende die Potenzgesetze an:
   1. \(a^2 \cdot a^4 + b \cdot b^5\)
   2. \(-10a^2 + 2a(a+2)\)
   3. \(y^3 \cdot (-x)^3\)
   4. \(\left(\frac{x}{3}\right)^4 \cdot 3^4\)
   5. \(\frac{b^{n+2}}{b^n}\)
   6. \(\frac{(2x)^5}{(2x)^{a+5}}\)
   7. \(\frac{2^3}{\left(\frac{1}{2}\right)^3}\)
   8. \(\frac{(-2x)^4}{(-y)^4}\)
   9. \((-2y)^3\)
   10. \((5a^3b^2)^3\)

Aufgabe 20  Bakterienwachstum 𝕃

E-Coli-Bakterien verdoppeln ihre Anzahl alle 20 Minuten.
Wir nehmen an, dass am Anfang 100 Bakterien vorhanden sind.

Beschreibe, wie sich die Bakterienzahl dann in den ersten 2 Stunden entwickelt.

Stelle die Entwicklung für diesen Zeitraum mithilfe einer Wertetafel dar.

Aufgabe 21  Richtig oder falsch? 𝕃

Wähle die richtige(n) Aussage(n) aus und begründe deine Entscheidung.

☐ Richtig, weil \(67,\! 5^\circ : 45^\circ = 1,\! 5\).
☐ Falsch, weil die Hypotenuse länger ist als die Gegenkathete.
☐ Richtig, weil die Länge der Hypotenuse durch die Länge der Gegenkathete dividiert wird.
☐ Falsch, weil der Sinuswert eines Winkels immer kleiner oder gleich 1 ist.