Mathebrücke Anforderungsbereich III

Aufgabe 1  Potenzen mit negativen Exponenten 𝕃

Tim überlegt: Wenn  dasselbe ist wie  , dann ist doch  dasselbe wie .
Welches Muster liegt dieser Vorgehensweise zugrunde? Was wäre demnach ?
Hat Tim Recht?

Aufgabe 3  Zinsversteuerung 𝕃

Du möchtest ein Kapital von 10.000 € auf 20 Jahre anlegen. Die Bank schlägt dir zwei Anlagevarianten vor:
Anlage A bringt eine jährliche Verzinsung von 8 %. Von diesen Zinsen werden jährlich bei der Gutschrift sofort 25% Steuern abgezogen.
Anlage B bringt ebenfalls eine jährliche Verzinsung von 8 %. 

Die Steuer von 25 % auf die Zinserträge wird jedoch erst am Ende der Anlagezeit abgezogen.

1. Für welche Anlagevariante würdest du dich entscheiden? Überlege zuerst ohne zu rechnen und berechne dann den Unterschied der beiden Varianten.
2. Wie groß wäre der Unterschied, wenn der Betrag als Altersvorsorge auf 50 Jahre angelegt wird?

Aufgabe 7  Achsen beschriften 𝕃

Bestimme eine Beschriftung für die Koordinatenachsen mit geeigneten Einheiten so, dass die eingezeichnete Gerade die Gleichung  hat.

Aufgabe 7  Zeichnen von Geraden 2 𝕃

Zeichne die Gerade mit der Gleichung  für

Aufgabe 7  Koordinatensystem zeichnen 𝕃

Zeichne die fehlenden Koordinatenachsen ein und bestimme die Einheiten an den Achsen so, dass die gegebene Gerade bezüglich dieses Koordinatensystems die Gleichung  hat.

Aufgabe 8  Schnittpunkt von Geraden 𝕃

Klara will den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen. Nach einigen Umformungsschritten erhält sie

1. die Gleichung  0=3
2. die Gleichung  3=3
   Klara schließt daraus, dass sie sich verrechnet hat. Was sagst du dazu? 

Aufgabe 8  Schnittpunkt von Geraden 2 𝕃

Durch die Gleichungen  und  sind zwei Geraden gegeben.
Klara möchte deren Schnittpunkt bestimmen und beginnt zu rechnen: 

Beschreibe die einzelnen Umformungsschritte.
Beurteile, ob Klaras Lösungsweg zum Ziel führt.
Was bedeutet das Ergebnis?

Aufgabe 8  Schnittpunkt von Geraden 2 𝕃

Gegeben sind die Funktionen  mit  und  mit .

Prüfe, ob sich das Schaubild von  und die Orthogonale zum Schaubild von  durch  im ersten Quadranten schneiden.

Aufgabe 10  Aufgabe zu Funktionsvorschriften 𝕃

Gegeben sind die Funktionen  mit  und  mit .

1. Bestimme , wenn gilt:
2. Welchen Wert muss  annehmen, wenn gilt: ? 
3. Bestimme , wenn gilt: .

Aufgabe 10  Richtig-Falsch-Aufgaben zu Funktionsvorschriften 𝕃

Gegeben sind die Funktionen  durch  und  durch .
Kreuze jeweils an, ob die Aussage richtig oder falsch ist.
Stelle die falschen Aussagen richtig!

1. Die Funktion   nimmt an der Stelle 3 den Funktionswert 1 an.
   ☐ richtig       ☐ falsch
2. Es gilt .
   ☐ richtig       ☐ falsch
3.  Das Schaubild der Funktion   schneidet die x-Achse an der Stelle .
   ☐ richtig       ☐ falsch   
4. Die Funktionen  und  nehmen an der Stelle  denselben Funktionswert an.
   ☐ richtig       ☐ falsch
5. Die Schaubilder der Funktionen stehen senkrecht aufeinander.
   ☐ richtig       ☐ falsch
6. Die Funktion  ordnet dem Wert 5 eine kleinere Zahl zu als die Funktion .
   ☐ richtig       ☐ falsch
7. Die Funktion  ordnet allen Werten größer 6 negative Funktionswerte zu.
   ☐ richtig       ☐ falsch   

Aufgabe 10  Länge und Mittelpunkt einer Strecke 𝕃

In nachfolgendem Koordinatensystem sind mehrere Punkte eingezeichnet.

1. Bestimme die Länge der Strecken  und . 
2. Gib die Koordinaten des Mittelpunktes  der Strecke  an.  
   Überprüfe, ob die Gerade durch den Punkt  mit Steigung -1 durch  geht. 
3. Berechne den Umfang des Dreiecks . 

Aufgabe 10  Länge und Mittelpunkt einer Strecke 2 𝕃

1. Berechne die fehlenden Koordinaten, wenn  der Mittelpunkt der Strecke  ist:  
   
2. Gegeben sind die Punkte  und . Bestimme die Gleichung der Geraden mit , die durch den Mittelpunkt der Strecke  geht. 
3. Zeige, dass die Entfernung vom Punkt  und dem Schnittpunkt der Geraden aus b) mit der y-Achse 10 beträgt.

Aufgabe 10  Tinas Orthogonale 𝕃

Tina hat folgende Hausaufgabe bekommen: Zwei Geraden stehen orthogonal zueinander und schneiden sich im Punkt . Bestimmen Sie mögliche Geradengleichungen. 

Sie hat folgendes in ihr Heft notiert:

1. Erläutere kurz, warum Tina die Steigung  frei wählen durfte. 
2. Bestimme für Tina die zugehörige Orthogonale!

Aufgabe 10  T-Shirtkosten 𝕃

Bei der Produktion von T-Shirts mit aufwendigem Druck und aufgenähten Strasssteinen fallen in einem Unternehmen variable Stückkosten in Höhe von 15 Euro an. Ab einer Menge von 200 T-Shirts betragen die variablen Stückkosten nur noch 11 Euro, da das Unternehmen Einkaufsrabatte nutzen kann.

1. Bestimme den Funktionsterm, der die Kosten für eine Produktionsmenge kleiner 200 Stück angibt. Bestimme auch den Funktionsterm für größere Produktionsmengen.
2. Zeichne den Kostenverlauf des Unternehmens in ein Koordinatensystem.
3. Erläutere, wie sich das Schaubild verändern würde, wenn in dem Unternehmen fixe Kosten, die unabhängig von der produzierten Menge sind, in Höhe von 600 Euro anfallen würden.

Aufgabe 10  Fruchtsafttank 𝕃

Ein Fruchtsafthersteller nutzt zylinderförmige Edelstahltanks zur Zwischenlagerung von Fruchtsäften. Ein Tank fasst 6000 Liter und wird gleichmäßig gefüllt. Nach 6 Minuten sind 2100 Liter im Tank, eine Viertelstunde später 4350 Liter.

1. Stelle die Füllmenge in Abhängigkeit von der Zeit einem Schaubild dar.
2. Wie viel Liter waren zu Beginn noch im Tank?
3. Wie lange dauert es, bis der Tank voll ist?

Aufgabe 10  Geradenbüschel 2 𝕃

Gegeben ist das nebenstehende "Geradenbüschel" (es sind nur 5 von unendlich vielen
Geraden eingezeichnet):

1. Was haben diese Geraden gemeinsam?
2. Entscheide, welche der folgenden Geraden zum Büschel gehören und welche nicht. Begründe deine Antwort.

	Ja	Nein
	☐	☐
	☐	☐
	☐	☐
	☐	☐
	☐	☐
	☐	☐
	☐	☐
	☐	☐
	☐	☐

Aufgabe 5  Vielfachheit von Lösungen 𝕃

Für welche Werte von  besitzt die Gleichung

zwei Lösungen, eine Lösung bzw. keine Lösung?

Aufgabe 5  Richtig oder falsch 𝕃

Sind folgende Umformungen von Zeile zu Zeile richtig?
Begründe, wenn die Umformung falsch ist.

Terme und Gleichungen:	richtig	falsch	Begründung
1.	☐	☐
2.	☐ ☐	☐ ☐
3.	☐ ☐	☐ ☐
4.	☐	☐

Aufgabe 6  Differenz von Quadratzahlen 𝕃

Zeige, dass allgemein gilt:

Die Differenz der Quadrate von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist immer die Summe der beiden Zahlen.

Aufgabe 6  Wahr oder falsch? 𝕃

Welche Aussage ist wahr? Begründe!

1. Eine quadratische Gleichung hat immer zwei Lösungen.
2. Die Lösungen einer quadratischen Gleichung entsprechen den Schnittstellen einer Parabel mit der x-Achse.
3. Die Gleichung  hat keine Lösung.

Aufgabe 6  Rote Rosen 𝕃

Tim kauft für seine Freundin rote Rosen für 60 €.
In der nächsten Woche kauft er wieder rote Rosen für 60 €. Weil eine Rose jetzt aber 0,40 € mehr kostet, bekommt er 5 Rosen weniger.
Was kostete eine Rose in der ersten Woche?
Wie viele Rosen bekam er in der ersten Woche für 60 €?

Aufgabe 11  Parabeln finden 𝕃

Gesucht sind Parabeln, die durch den Punkt P gehen und die gegebene Gerade schneiden, berühren oder keinen Punkt mit ihr gemeinsam haben.

1. Beschreibe deine Vorgehensweise. 
2. Wie viele Parabeln gibt es in jedem der drei Fälle?
3. Bestimme für jeden Fall eine Gleichung einer Parabel. Schildere, wie du deine Ergebnisse überprüfen kannst.
4. Hugo behauptet, der Scheitel einer berührenden Parabel läge auf der Geraden. Nimm dazu Stellung!

Aufgabe 11  Gegenseitige Lage von Parabel und Gerade 𝕃

Überprüfe folgende Aussage:
Eine nach unten geöffnete Normalparabel mit dem Scheitel  hat mit der Geraden  einen gemeinsamen Schnittpunkt.

Aufgabe 11  Gegenseitige Lage von zwei Parabeln 𝕃

Gegeben sind folgende Wertetabellen. Sie gehören jeweils zu einer Parabel.

Untersuche, wie die Parabeln zueinander liegen.

Aufgabe 14  Parabeln zeichnen 𝕃

Zeichne und skaliere jeweils ein Koordinatensystem, sodass jede der folgenden Parabeln die Normalparabel darstellt (mit der Parabelschablone gezeichnet werden kann). 

Aufgabe 14  Sekante, Tangente, Passante in Abhängigkeit von t 𝕃

Gegeben sind die Funktionen  mit  und  mit .
Für welche Werte von  ist die Gerade eine Tangente, eine Sekante oder eine Passante?

Aufgabe 14  Brennpunkt 𝕃

Zeichne die Parabel mit der Gleichung  in ein Koordinatensystem. Wenn du eine Parabelschablone benutzt, findest du in der Nähe des Scheitels meist ein kleines Loch, mit dem du den Punkt )  markieren kannst. Dieser Punkt ist der sogenannte Brennpunkt der Parabel. Zeichne den Punkt  ein und außerdem die waagerechte Gerade

Berechne für verschiedene Parabelpunkte den Abstand von  und den Abstand von der waagerechten Geraden.   
Was fällt auf?

Die Aufgabe für Experten:  
Nimm als Parabelpunkt . Berechne den Abstand von  und den Abstand von der waagerechten Geraden. Kannst du die Vermutung von oben bestätigen?

Aufgabe 14  Größtes rechteckiges Grundstück 𝕃

WESTERN TRIBUNE 3RD JULY 1898
LAND-RACE AM ARKANSAS-RIVER

Dodge City. Die Western Pacific Railroad Compagny verschenkt morgen ein großes Grundstück am Arkansas-River. Das Gelände erhält derjenige, der es schafft, mit 500 m Zaun das größte rechteckige Grundstück abzustecken. Das Grundstück schließt direkt an das Ufer des Flusses an und soll von drei Seiten eingezäunt werden. Die Interessenten mögen sich bei Morgengrauen am Fluss einfinden.

Aufgabe 15  Flächeninhalt eines Dreiecks 𝕃

Die Punkte  und  sind die Ecken eines Dreiecks . Zudem ist der Punkt  gegeben.

1. Zeichne das Dreieck  und den Punkt  in ein Koordinatensystem und zeige durch Rechnung, dass der Punkt  auf der Seite  liegt.
2. Prüfe mit Hilfe des Satzes des Pythagoras, ob das Dreieck  rechtwinklig ist.
3. Berechne die Fläche des Dreiecks .

Aufgabe 15  Rechtwinkliges Dreieck 𝕃

Die Punkte  und  bilden ein Dreieck.
Zeige, dass dieses Dreieck rechtwinklig ist.

Aufgabe 15  Dreiecksseiten 𝕃

Begründe, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Katheten größer als die Hypotenuse ist.

Aufgabe 18  Dreiecksfläche 𝕃

Gegeben sind die Punkte  und .

1. Zeichne das Dreieck  in ein Koordinatensystem. 
2. Zeichne das kleinste achsenparallele Rechteck, das das Dreieck  enthält, in das Koordinatensystem und berechne dessen Flächeninhalt. 
3. Berechne mit Hilfe von b) den Flächeninhalt des Dreiecks . 
4. Beschreibe die Lösungsschritte, die notwendig sind, wenn man die Dreiecksfläche mit Hilfe der Formel  berechnen wollte. 

Aufgabe 20  Bakterienwachstum 5 𝕃

E-Coli-Bakterien verdoppeln ihre Anzahl alle 20 Minuten.
Nehmen wir an, dass am Anfang 100 Bakterien vorhanden sind.

Wie entwickelt sich die Bakterienzahl dann in den ersten 2 Stunden?

1. Bitte fertige eine Wertetafel für diesen Zeitraum an.
2. Wie lautet die Funktionsgleichung?
3. Die Funktionsgleichung in b) hat die Einheit 20 Minuten, was ungewöhnlich ist. Wie lautet die Funktionsgleichung in der Einheit Stunde für die Zeit?

Aufgabe 21  Steigung einer Straße 𝕃

Die Steigung einer Straße wird auf Verkehrsschildern in Prozent angegeben. Dabei bedeutet z.B. eine Steigung von 12%, dass die Straße auf 100 Meter Horizontalabstand 12 Meter ansteigt:
 

Alfons legt mit seinem Fahrrad bei einem Anstieg eine Strecke von 2 km zurück. Sein Tacho, der auch die Höhe messen kann, zeigt in diesem Abschnitt eine Höhendifferenz von 184 m an.
Oben angekommen erzählt er Klara, die auf ihn gewartet hat: "Auf den letzten zwei Kilometern war die durchschnittliche Steigung genau 9,2%!"
Klara meint: "Das stimmt nicht! Die Steigung war größer!"

1. Was meinst du dazu?
2. Wie groß ist der Steigungswinkel der Straße (zur Horizontalen gemessen)?
3. Wie groß ist der Horizontalabstand, den Alfons in diesem Abschnitt zurückgelegt hat?
4. Klara hat mit dem Horizontalabstand aus c) die Steigung berechnet. Wie groß ist die Abweichung der Ergebnisse von Klara und Alfons?
5. Der Höhenmesser von Alfons misst nur auf 2 Meter genau. Die zurückgelegte Strecke wird auf 10 Meter genau angegeben. Wie wirkt sich dies auf die Genauigkeit der Steigung aus?
   Welcher Fehler wirkt sich hier stärker aus, die Messungenauigkeit des Tachos oder der falsche Horizontalabstand in der Rechnung von Alfons?