BPE 10.1 Bogenmaß, Einheitskreis, Entstehung der Funktionen

1  Winkel am Einheitskreis  (15 min) 𝕋  𝕃

1. Zeichne einen Einheitskreis und markiere auf dem Kreis alle Punkte, die zu den Winkeln 30°, 60°, 90°, ... 360° gehören und beschrifte sie mit den exakten Werten für Sinus/ Cosinus.
2. Zeichne in den linken Einheitskreis alle Punkte, die zu den Winkeln 390°, 420°, ... 720° gehören. Zeichne in den rechten Einheitskreis alle Punkte, die zu den Winkeln -30°,-60°, ... -360°.
   Welchen (allgemeinen) Zusammenhang kannst du feststellen?

2  Bogenmaß schätzen  (3 min) 𝕋  𝕃

Zeichne einen Einheitskreis und skizziere darin den Winkel 120°. Schätze die zugehörige Bogenlänge ab.

3  Besondere Winkel  (8 min) 𝕋  𝕃

Zeichne einen Einheitskreis und markiere auf dem Kreis alle Punkte, die zu den Winkeln 30°, 60°, 90° ... 360° gehören. Beschrifte sie mit den exakten Bogenlängen (Vielfache von 𝜋).

4  Umrechnungsformel  (10 min) 𝕋  𝕃

Nimm den Einheitskreis aus der vorhergehenden Aufgabe. Ein Winkel α im Gradmaß ist ein Teil des Vollwinkels. Ein Winkel s im Bogenmaß ist ein Teil des Umfangs. Entwickle eine Formel, die α und s zueinander ins Verhältnis stellen. Löse sie nach s auf und überprüfe, ob du für den Winkel α=150° den Bogen \(s=\frac{5}{6}\cdot\pi\) erhältst.

5  sin und cos schätzen  (6 min) 𝕋  𝕃

Zeichne einen Einheitskreis und skizziere darin die Winkel 120° und die Bogenlänge \(s=\frac{7}{6}\cdot\pi\). Schätze für beide Größen anhand deiner Zeichnung den sin- und den cos. Überprüfe deine Ergebnisse mit dem Taschenrechner.

6  Winkelbestimmung am Einheitskreis  (8 min) 𝕃

Ermittle näherungsweise die zugehörigen Lösungen der nachfolgenden Gleichungen auf dem Intervall [0;2𝜋] unter zu Hilfenahme des Einheitskreises:
a) \(\sin(x)=0,5 \)
b) \(\cos(x)=-0,5 \)
c) \(\sin(x)=-0,25 \)
d) \(\cos(x)=1\)

7  Entstehung der Sinus- und Kosinusfunktion aus einer Kreisbewegung  (7 min) 𝕃

Lisa hat eine Spielzeuglokomotive im Kreis fahren lassen und die Bewegung mit einer Videoanalysesoftware aufgenommen. Das linke Bild zeigt die markierten Punkte im Video. Erkläre, wie daraus die beiden anderen Schaubilder entstehen. Welche Aussagen kannst du über Lisas Experiment machen?

8  Skizzieren  (10 min) 𝕋  𝕃