BPE 11.2 Verkettung

[[Kompetenzen.K6]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann bei einer verketteten Funktion die äußere und die innere Funktion identifizieren

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(Im grundlegenden Anforderungsnivea sind die inneren Funktionen immer linear)

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{{aufgabe id="Transformationen" afb="II" kompetenzen="K5,K6" quelle="Holger Engels" zeit="6"}}

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Die Standard Sinusfunktion wird zunächst um den Faktor //½// horizontal gestreckt und dann um //3// nach rechts verschoben. So entsteht die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=\sin(2(x-3)){{/formula}}. Diese Funktion kann als Verkettung dreier Operationen gedeutet werden:

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[[image:Transformationen als Verkettung.svg||width=500]]

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Erst wird //3// abgezogen, dann wird mit //2// multipliziert und dann der Sinus "angewendet".

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Erkläre, warum die Verkettung anders herum zu sein scheint, als die Reihenfolge der Transformationen!

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{{aufgabe id="Verkettungen bilden" afb="I" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Martin Hartmann und Henrik Horstmann" zeit="7"}}

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Bestimme die Verkettung {{formula}} f =u \circ v{{/formula}} und {{formula}} g = v \circ u{{/formula}} der folgenden Funktionen:

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(%class=abc%)

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1. {{formula}}u(x)=2+x{{/formula}} ; {{formula}}v(x)=3x-2{{/formula}}

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1. {{formula}}u(x)=\frac{1}{x}{{/formula}} ; {{formula}}v(x)=x+3{{/formula}}

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1. {{formula}}u(x)=x^2-2{{/formula}} ; {{formula}}v(x)=(x-2)^2{{/formula}}

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1. {{formula}}u(x)=e^x{{/formula}} ; {{formula}}v(x)=1-x{{/formula}}

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1. {{formula}}u(x)=cos(x){{/formula}} ; {{formula}}v(x)=2x+1{{/formula}}

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1. {{formula}}u(x)=\frac{3}{x}{{/formula}} ; {{formula}} v(x)=\frac{3}{3-x^2} {{/formula}}

{{aufgabe id="Verkettungen analysieren" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Martin Hartmann" zeit="5"}}

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Für die verkette Funktion f soll gelten f = u ° v. Ermittle passende Funktionen u und v.

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(%class=abc%)

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1. {{formula}}f(x)=(x-1)^3{{/formula}}

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1. {{formula}}f(x)=sin^2(x){{/formula}}

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1. {{formula}}f(x)=(sin(x))^2{{/formula}}

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1. {{formula}}f(x)=e^{3x+2}{{/formula}}

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1. {{formula}}f(x)=\sqrt{2-x^3}{{/formula}}

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1. {{formula}}f(x)=\frac{5}{x^3}{{/formula}}

{{aufgabe id="Verkettung aus zwei verschiedenen Funktionen " afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Martin Hartmann und Henrik Horstmann" zeit="5"}}

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Ermittle zwei verschiedene Paare von Funktionen {{formula}}u{{/formula}} und {{formula}}v{{/formula}}, deren Verkettung die Funktion {{formula}}f{{/formula}} ergibt, sodass {{formula}}f=u \circ v{{/formula}}

{{aufgabe id="Verkettung grafisch bestimmen" afb="III" kompetenzen="K4,K6" quelle="Henrik Horstmann und Martin Hartmann" zeit="15"}}

48

* {{formula}}f(x){{/formula}} und {{formula}}g(x){{/formula}} sind Funktionen mit {{formula}}x \in \mathbb{R}{{/formula}}

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* {{formula}}K_f{{/formula}} bzw. {{formula}}K_g{{/formula}} sind die Graphen der beiden Funktionen (siehe Schaubild)

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* {{formula}}h(x) = g(f(x)){{/formula}}

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