Lösung Umkehrfunktion grafisch und rechnerisch bestimmen
Version 14.1 von Martin Monath am 2026/05/12 14:52
- Funktionsterm aufstellen:
Ansatz: Scheitelform einer Parabel: \(f(x)=a\cdot (x-x_S)^2+y_S\).
Aus der Zeichnung: \(a=1,\ x_S=0,\ y_S=-2\)
\(\Rightarrow f(x)=x^2-2\).
Rechnerische Bestimmung der Umkehrfunktion:
- Schritt 1: Auflösen der Funktionsgleichung nach \(x\):
\(\begin{aligned} & y &=& x^2-2 &\vert +2&\\ \Rightarrow & y+2 &=& x^2 &\vert \sqrt{\hphantom{x}}&\\ \Rightarrow & \pm\sqrt{y+2} &=& x &\vert \text{nur "-" zählt wegen Definitionsbereich}&\\ \Rightarrow & \sqrt{y+2} &=& x & & \end{aligned}\) - Schritt 2: Vertauschen von \(x\) und \(y\):
\(\begin{aligned} \Rightarrow\ && y = && \sqrt{x+2}\\ \Rightarrow\ && f^{-1}(x) = && \sqrt{x+2}\)
\end{aligned}