Lösung Umkehrfunktion grafisch und rechnerisch bestimmen

1. Funktionsterm aufstellen:
   Ansatz: Scheitelform einer Parabel: \(f(x)=a\cdot (x-x_S)^2+y_S\).
   Aus der Zeichnung: \(a=1,\ x_S=0,\ y_S=-2\)
   \(\Rightarrow f(x)=x^2-2\).
   Rechnerische Bestimmung der Umkehrfunktion:

• Schritt 1: Auflösen der Funktionsgleichung nach \(x\):
  \(\begin{align*} && y &= x^2-2 &\vert& +2\\ &\Rightarrow & y+2 &= x^2 &\vert& \sqrt{\hphantom{x}}\\ &\Rightarrow & \pm\sqrt{y+2} &= x &\vert& \text{nur "-" zählt wegen Definitionsbereich}\\ &\Rightarrow & \sqrt{y+2} &= x && \end{align*}\)
• Schritt 2: Vertauschen von \(x\) und \(y\):
  \(\begin{align*} &\Rightarrow & y &= \sqrt{x+2}\\ &\Rightarrow & f^{-1}(x) &= \sqrt{x+2} \end{align*}\)

Ad Anleitungsseite:
\(\begin{aligned} && g(x) &= 0 & \vert & g(x)\text{ einsetzen}\\ &\Rightarrow & \frac{1}{2}(x^2-4x+3) &= 0 & \vert & \cdot 2\\ &\Rightarrow & x^2-4x+3 &= 0 & \vert & \text{abc-Formel}\\ &\Rightarrow & x_{1,2} &=\frac{4\pm\sqrt{4^2-4\cdot3}}{2}=\frac{4\pm2}{2} & & \\ &\Rightarrow & x_1 &=1;\: x_2=13 \end{aligned}\)