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Version 39.1 von Martin Monath am 2026/05/12 17:33
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1 (%class="abc"%)
2 1. [[image:MatheArbeitsheft_11.3_1_LSG.png||class=center width=450]]
3
4 1. Funktionsterm aufstellen:
5 Ansatz: Scheitelform einer Parabel: {{formula}}f(x)=a\cdot (x-x_S)^2+y_S{{/formula}}.
6 Aus der Zeichnung: {{formula}}a=1,\ x_S=0,\ y_S=-2{{/formula}}
7 {{formula}}\Rightarrow f(x)=x^2-2{{/formula}}.
8 Rechnerische Bestimmung der Umkehrfunktion:
9 * Schritt 1: Auflösen der Funktionsgleichung nach {{formula}}x{{/formula}}:
10 {{formula}}
11 \begin{align*}
12 && y &= x^2-2 &\vert& +2\\
13 &\Rightarrow & y+2 &= x^2 &\vert& \sqrt{\hphantom{x}}\\
14 &\Rightarrow & \pm\sqrt{y+2} &= x &\vert& \text{nur "-" zählt wegen Definitionsbereich}\\
15 &\Rightarrow & \sqrt{y+2} &= x &&
16 \end{align*}
17 {{/formula}}
18 * Schritt 2: Vertauschen von {{formula}}x{{/formula}} und {{formula}}y{{/formula}}:
19 {{formula}}
20 \begin{align*}
21 &\Rightarrow & y &= \sqrt{x+2}\\
22 &\Rightarrow & f^{-1}(x) &= \sqrt{x+2}
23 \end{align*}
24 {{/formula}}
25
26 Ad Anleitungsseite:
27 {{formula}}
28 \begin{aligned}
29 && g(x) &= 0 & \vert & g(x)\text{ einsetzen}\\
30 &\Rightarrow & \frac{1}{2}(x^2-4x+3) &= 0 & \vert & \cdot 2\\
31 &\Rightarrow & x^2-4x+3 &= 0 & \vert & \text{abc-Formel}\\
32 &\Rightarrow & x_{1,2} &=\frac{4\pm\sqrt{4^2-4\cdot3}}{2}=\frac{4\pm2}{2} & & \\
33 &\Rightarrow & x_1 &=1;\: x_2=13
34 \end{aligned}
35 {{/formula}}