BPE 12.1 Differentialquotient, Differenzierbarkeit

Aufgabe 1  Mittlere und momentane Änderungsrate

Gegeben ist die Funktion f mit \(f(x)=x^2\)

1. Bestimme die mittlere Änderungsrate im Intervall [1,2]
2. Ermittle die momentane Änderungsrate an der Stelle x=1 mit Hilfe des Intervalls [1; 1+h]

Aufgabe 2  Blitzer 𝕋 

Peter Planlos hat es, wie üblich, sehr eilig nach Hause zu kommen. Er braucht für eine 2,5 km lange Ortsdurchfahrt nur 3 Minuten und vergisst mal wieder, dass dort ein Blitzer steht. Nach 1,5 Minuten Fahrtzeit wird die Geschwindigkeit gemessen.
Seine Zeit-Weg-Funktion ist durch \(f(t)=-\frac{5}{27}t^3+\frac{5}{6}t^2\) gegeben.

1. Berechne seine durchschnittliche Geschwindigkeit für die Ortsdurchfahrt.
2. Muss Peter jetzt mit einem Strafzettel rechnen? Erläutere!

Aufgabe 3  Differentialquotient A

Berechne den Differentialquotienten an der Stelle \(x_0=1\) für folgende Funktionen:

1. \(f(x)=x^2+3\)
2. \(f(x)=3\cdot x^2\)

Aufgabe 4  Differentialquotient B

Berechne den Differentialquotienten für eine beliebige Stelle \(x_0\) für folgende Funktionen:

1. \(f(x)=x^2+3\)
2. \(f(x)=3\cdot x^2\)

Aufgabe 5  Differenzierbarkeit

Diskutiere für folgende Schaubilder, ob ihre Funktionen innerhalb ihres Definitionsbereichs differenzierbar sind.