Tipp Verschiebung durch Ableiten
Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/13 18:36
Hinweis 1
Leite \(f^\prime\) ein paar mal ab, um zu sehen, was passiert.Bilde die Stammfunktion von \(f^\prime\) mit einer Integrationskonstanten, das heißt mit einem konstanten, jedoch noch unbekannten Summanden \(C\in\mathbb{R}\), nach dem Beispiel:\(g^\prime\left(x\right)=3x^2 \ \Rightarrow \ g\left(x\right)=x^3+C\)
Hinweis 2
Durch mehrmaliges Ableiten von \(f\) entsteht jedes Mal ein weiterer Vorfaktor 2.Überlege dir, welcher grafischen Transformation eine Multiplikation des Funktionsterms mit der Zahl 2 entspricht.
Hinweis 3
Zwar ist die mehrmalige Multiplikation mit 2 eine Streckung in y-Richtung, jedoch kann man die Funktionsterme von \(f\) sowie deren Ableitungsfunktionen auch derart umformen, dass eine Verschiebung in x-Richtung ersichtlich wird.Beispiel für die natürliche Exponentialfunktion:
\(f\left(x\right)=e^x\)
Streckung in y-Richtung mit dem Faktor a:
\(g\left(x\right)=a\cdot e^x\)
Jetzt kommt die algebraische Umformung (Formeln siehe Merkhilfe):
Zuerst bringen wir beide Faktoren auf dieselbe Basis:
\(g\left(x\right)=e^{\ln{\left(a\right)}}\cdot e^x\)
„Zwei Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem die Exponenten addiert werden und die Basis beibehalten wird.“ (erstes Potenzgesetz)
\(g\left(x\right)=e^{\ln{\left(a\right)}+x}\)
Das heißt die Transformation kann ebenso als Verschiebung um \(\ln{\left(a\right)}\) nach links verstanden werden:
\(g\left(x\right)=f\left(x+\ln{\left(a\right)}\right)\)