BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen

1  Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion zur Basis q  (10 min) 𝕃

Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.

1. Zeige durch Anwendung der Potenzgesetze, dass die folgende Gleichung richtig ist:
    \(q^x=e^{ln(q)\cdot x}\)  
2. Nimm Stellung zu folgender Aussage:
   "Jede Exponentialfunktion zur Basis q kann mithilfe der natürlichen Exponentialfunktion dargestellt werden. Es genügt daher die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion zu kennen".

2  Verknüpfung  (6 min) 𝕃

Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.

1. \(f(x)= e^{x}+2x +9 \)
2. \(f(x)=x \cdot \sin(x) \)
3. \(f(x)= \frac{1}{x} -3x \)

3  Verkettung  (6 min) 𝕃

Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.

1. \(f(x)=(3x+4)^5\)
2. \(f(x)=e^{-0,5x+3} \)
3. \(f(x)=-0,5\cos(2x-6) \)

4  Verknüpfung und Verkettung  (8 min) 𝕃

Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.

1. \(f(x)=\sqrt{8x} + \cos (\pi {x})\)
2. \(f(x)=e^{-0,5x}\cdot \sin(6x-1) \)

5  Verknüpfung und Verkettung eAN  (8 min) 𝕃

Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.

1. \(f(x)=e^{\ln(0,75)x}+\ln(9x-5) \)
2. \(f(x)=(3x+1)\cdot e^{-x^4} \)

6  Korrekturen  (8 min) 𝕃

Tim hat zu einem gegebenen Funktionstermen eine Ableitung erstellt.
Begründe, warum die Ableitung nicht korrekt ist.

7  Funktion und Ableitung  (8 min) 𝕃

Ein Funktionsterm und dessen Ableitung wurde nur unvollständig gegeben. Ermittle mögliche Eintragungen für die Kästchen.
Begründe, warum es mehrere Lösungen gibt.

1. \(f(x)=e^{2x}\cdot\square ~ \text{und} ~ f´(x)=2e^{2x}\cdot\square + 4e^{2x}\)
2. \(f(x)=\square\cdot \frac{1}{x} ~ \text{und} ~ f´(x)= \frac{5}{2\sqrt\square}\cdot\square + \square\cdot\square\)

8  Logarithmusfunktion ableiten  (5 min) 𝕃

Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion \(\ln\) mit Definitionsbereich \(\mathbb{R}_+^*\) und zugehörigem Wertebereich \(\mathbb{R}\). Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung \(\ln'\) ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor.
Implizites Differenzieren. Betrachte die Hilfsfunktion h mit \(h(x)=e^{\ln(x)}=x\). Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) \(1=h'(x)=e^{\ln(x)}\cdot \ln'(x)\) nach \(\ln'\) auf.

9  Verschiebung durch Ableiten  (k.A.) 𝕋  𝕃

Die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) hat die erste Ableitungsfunktion \(f^\prime\) mit \(f^\prime\left(x\right)=2\cdot e^{2x}\) und es gilt \(f\left(0\right)=1\).

Leitet man die erste Ableitungsfunktion \(f^\prime\) ab, so erhält man die zweite Ableitungsfunktion \(f^{\prime\prime}\) von \(f\). Entsprechend entsteht die hundertste Ableitung \(f^{\left(100\right)}\) von \(f\). Der Graph der hundersten Ableitungsfunktion \(f^{\left(100\right)}\) lässt sich aus dem Graphen von \(f\) durch eine Verschiebung in x-Richtung erzeugen.

Ermittle, um wie viele Einheiten der Graph von \(f\) dazu in x-Richtung zu verschieben ist.