BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen

b) {{formula}}f(x)=\square\cdot \frac{1}{x} {{/formula}}~ und {{formula}}f´(x)= \frac{5}{2\sqrt\square}\cdot\square + \square\cdot\square {{/formula}}

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{{aufgabe id="Ableitungsregeln entdecken und begründen" afb="III" kompetenzen="K1,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}

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Gegeben sind eine reelle Zahl //a// sowie zwei lineare Funktionen {{formula}}f_i{{/formula}} mit {{formula}}f_i(x)=m_i x+b_i{{/formula}} für {{formula}}i=1,2{{/formula}}.

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(% class="abc" %)

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1. (((Ermittle rechnerisch (mittels Definition der Verknüpfung bzw. Verkettung) die Hauptform der folgenden zusammengesetzten Funktionen:

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1. Summenfunktion {{formula}}f=f_1 + f_2{{/formula}}

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1. Vielfachenfunktion {{formula}}f=a \cdot f_1{{/formula}}

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1. Produktfunktion {{formula}}f=f_1\cdot f_2{{/formula}}.

68

1. Verkettung {{formula}}f=f_2\circ f_1{{/formula}}.

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70

)))

71

1. Ermittle rechnerisch (mittels Definition des Differenzialquotienten) aus der Hauptform von //f// die Hauptform der ersten Ableitung //f'// von //f//.

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1. (((Zeige, dass sich //f'// folgendermaßen schreiben lässt:

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1. Summenfunktion {{formula}}f'=f_1' + f_2'{{/formula}}

74

1. Vielfachenfunktion {{formula}}f'=a \cdot f_1'{{/formula}}

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1. Produktfunktion {{formula}}f'=f_1'\cdot f_2+f_1\cdot f_2'{{/formula}}

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1. Verkettung {{formula}}f'=(f_2'\circ f_1) \cdot f_1'{{/formula}}.

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)))

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1. Recherchiere die Ableitungsregeln (vgl. Merkhilfe, S. 5).

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1. Begründe bzw. plausibilisiere, dass durch die Teilaufgaben (a), (b) und (c) die Ableitungsregeln für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt sind.

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//Anmerkung//, insbesondere zu Teilaufgabe e). Jede differenzierbare Funktion ist //lokal// "linear", genauer: "linear approximierbar" (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von //u// gilt die Näherung {{formula}}f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u){{/formula}}. Mit anderen Worten: Jede differenzierbare Funktion verhält sich, lokal betrachtet, wie eine lineare Funktion, welche erwiesenermaßen die Ableitungsregeln erfüllen.

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{{aufgabe id="Exponentialfunktion ableiten" afb="III" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}

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Gegeben ist eine Exponentialfunktion {{formula}}f_q{{/formula}} mit {{formula}}f_q(x)=q^x{{/formula}} für //q>0//. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}f_q'{{/formula}} untersuchen und gehen dabei folgendermaßen vor.

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(% class="abc" %)

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1. Zeige, dass gilt: {{formula}}f_q'(x)=f_q(x)\cdot f_q'(0){{/formula}}.

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1. Untersuche die Abbildung {{formula}}q\mapsto f_q'(0){{/formula}} mit dem WTR. Kennst du für den Funktionsterm eine passende Bezeichnung?

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//Ansatz//. Wähle für //q// Potenzen von //e// und approximiere den Differenzialquotienten durch Differenzenquotienten mit kleinen Nennern.

91

1. Zeige unter Verwendung der Kettenregel und folgender Anmerkung die Ableitungsregel für die Exponentialfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe. Dort wird der Funktionsterm {{formula}}e^{bx}{{/formula}} betrachtet, das ist für {{formula}}b=\ln(q){{/formula}} der Funktionsterm von {{formula}}f_q{{/formula}}, nämlich {{formula}}e^{bx}=e^{\ln(q)x}=q^x=f_q(x){{/formula}}.

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//Anmerkung//.(% class="alphastyle" %)

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1. Es gilt folgende Gleichung: {{formula}}f_q'(0)=\ln(q){{/formula}}.

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Das liefert einen alternativen Zugang zur natürlichen Logarithmusfunktion (als Alternative zu ihrer Erscheinungsweise als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion).

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1. Es gilt die Äquivalenz folgender Gleichungen: {{formula}}\lim_{h\to 0} \frac{q^h-1}{h}=1 \Leftrightarrow q=e{{/formula}}.

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Das charakterisiert zunächst eine reelle Zahl, die wir durch "{{formula}}e{{/formula}}" bezeichnen" und das zeichnet weiter die natürliche Exponentialfunktion (zur Basis //e//) unter allen Exponentialfunktionen aus: {{formula}}f_e'(x)=f_e(x){{/formula}} bzw. kurz {{formula}}f_e'=f_e{{/formula}}.

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1. Es gelten allgemein folgende Gleichungen für die erste Ableitung: {{formula}}f_q'(x)=\ln(q)\cdot f_q(x){{/formula}} bzw. kurz {{formula}}f_q'=\ln(q)\cdot f_q{{/formula}}.

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{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}

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Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion {{formula}}\ln{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}_+^*{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}}. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}\ln'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor.

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//Implizites Differenzieren//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=e^{\ln(x)}=x{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}1=h'(x)=e^{\ln(x)}\cdot \ln'(x){{/formula}} nach {{formula}}\ln'{{/formula}} auf.

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{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="III" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}

107

Gegeben ist eine Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^k{{/formula}}.

108

(% class="abc" %)

109

1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=0,1,2{{/formula}} mittels Definition des Differenzialquotienten.

110

1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=3,4{{/formula}} mittels Produktregel.

111

//Ansatz//. {{formula}}f(x)=x^3=x^2\cdot x{{/formula}} bzw. {{formula}}f(x)=x^4=x^3\cdot x{{/formula}}.

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1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=5{{/formula}} mittels Produktregel auf mindestens drei Weisen.

113

//Ansatz//. {{formula}}f(x)=x^5=x^4\cdot x=x^3\cdot x^2= x^{12}\cdot x^{-7}{{/formula}} oder ähnliches.

114

1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=1/2{{/formula}}.

115

//Ansatz (implizites Differenzieren)//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=f(x)\cdot f(x)=x{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}1=h'(x)=2 f(x) f'(x){{/formula}} nach {{formula}}f'(x){{/formula}} auf.

116

1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=-n{{/formula}} mit {{formula}}n\in \mathbb{N}^*{{/formula}}.

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//Ansatz (implizites Differenzieren)//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=x^n\cdot f(x)=1{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}0=h'(x)=(x^n)'\cdot f(x)+x^n\cdot f'(x){{/formula}} nach {{formula}}f'(x){{/formula}} auf.

118

1. Zeige die Ableitungsregel für Potenzfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe, d.h., die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k\in \mathbb{R}_+^*{{/formula}}.

119

//Ansatz//. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung {{formula}}f(x)=x^k=e^{k\cdot \ln(x)}{{/formula}} von //f// und verwende die Ableitung der e-Funktion zzgl. Kettenregel.

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//Anmerkung//. In der letzten Teilaufgabe leistet die Fortsetzung {{formula}}e^{k\cdot \ln(x)}{{/formula}} der Funktionsgleichung von //f// (geradezu nebenbei) die (längst überfällige) Definition von Potenzen mit positiv reellen Exponenten.

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{{aufgabe id="Winkelfunktionen" afb="III" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}

125

Gegeben sind die Winkelfunktionen {{formula}}\sin, \cos{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}[-1;+1]{{/formula}}. Wir wollen ihre ersten Ableitungen {{formula}}\sin', \cos'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=(\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1{{/formula}} (trigonometrischer Pythagoras).

126

(% class="abc" %)

127

1. //Implizites Differenzieren//. Zeige, dass gilt: {{formula}}\sin(x)\sin'(x)=-\cos(x)\cos'(x){{/formula}}.

128

1. Begründe bzw. plausibilisiere mittels Teilaufgabe (a) und graphisches Ableiten, dass {{formula}}\sin'=\cos{{/formula}} und {{formula}}\cos'=-\sin{{/formula}} gilt.

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1. Zeige, dass aus {{formula}}\sin'=\cos{{/formula}} mittels Kettenregel {{formula}}\cos'=-\sin{{/formula}} folgt.

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//Ansatz//. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung {{formula}}\cos(x)=\sin(x-(-\pi/2)){{/formula}} von {{formula}}cos{{/formula}}.

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1. Zeige die Ableitungsregeln für Winkelfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe.

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//Anmerkung//. Teilaufgabe (c) plausibilisiert die Behauptung in b).

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Wiki-Quellcode von BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen