BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen

Aufgabe 1  Verknüpfung 𝕃

Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.

a)  \(f(x)= e^{x}+2x +9 \).
b)  \(f(x)=x \cdot sin(x) \).
c)  \(f(x)= \frac{1}{x} -3x \).

Aufgabe 2  Verkettung 𝕃

Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.

a)  \(f(x)=(3x+4)^5\).
b)  \(f(x)=e^{-0,5x+3} \).
c)  \(f(x)=-0,5cos(2x-6) \).

Aufgabe 3  Verknüpfung und Verkettung 𝕃

Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.

a)  \(f(x)=\sqrt{8x} + cos (\pi {x})\).
b)  \(f(x)=e^{-0,5x}\cdot sin(6x-1) \).

Aufgabe 4  Verknüpfung und Verkettung eAN (eAN)

Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.

a)  \(f(x)=e^{ln(0,75)x}+ln(9x-5) \)
b)  \(f(x)=(3x+1)\cdot e^{-x^4} \).

Aufgabe 5  Korrekturen

Tim hat zu einem gegebenen Funktionstermen eine Ableitung erstellt.
Begründe, warum die Ableitung nicht korrekt ist.

\(f(x)=\frac{1}{(6x+9)^{4}} \) und \(f´(x)=\frac{1}{4(6x+9)^{3}} \)

Aufgabe 6  Funktion und Ableitung

Ein Funktionsterm und deren Ableitung wurde nur unvollständig gegeben. Ermittle mögliche Eintragungen für die Kästchen.
Begründe, warum es mehrere Lösungen gibt.

1. \(f(x)=e^{2x}\cdot\square \) und \(f´(x)=2e^{2x}\cdot\square + 4e^{2x} \)
2. \(f(x)=\square\cdot \frac{1}{x} \) und \(f´(x)= \frac{5}{2\sqrt\square}\cdot\square + \square\cdot\square \)

Aufgabe 7  Logarithmusfunktion ableiten 𝕃

Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion \(\ln\) mit Definitionsbereich \(\mathbb{R}_+^*\) und zugehörigem Wertebereich \(\mathbb{R}\). Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung \(\ln'\) ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor.
Implizites Differenzieren. Betrachte die Hilfsfunktion h mit \(h(x)=e^{\ln(x)}=x\). Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) \(1=h'(x)=e^{\ln(x)}\cdot \ln'(x)\) nach \(\ln'\) auf.