Lösung Ableitungsregeln entdecken und begründen

Version 2.1 von akukin am 2025/08/03 21:15

1. Summenfunktion
2. Vielfachenfunktion $f(x)=a\cdot f_1(x)=a\cdot (m_1x+b_1)=(am_1)x+ab_1$
3. Produktfunktion
  $\begin{align} f(x)&=f_1(x)\cdot f_2(x) \\ &=(m_1x+b_1)\cdot(m_2x+b_2)\\ &=m_1m_2x^2+m_1b_2x+m_2b_1x+b_1b_2\\ &=m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2 \end{align}$
4. Verkettung
  $\begin{align} f(x)&=f_2(x)\circ f_1(x)=f_2(f_1(x))=f_2(m_1x+b_1) \\ &=m_2(m_1x+b_1)+b_2 \\ &=(m_2m_1)x+(m_2b_1+b_2) \end{align}$
Die Ableitung an der Stelle berechnet sich mit Hilfe des Differenzialquotienten durch
$f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
1. Summenfunktion:
  $\begin{align} f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x+(b_1+b_2)-((m_1+m_2)x_0+(b_1+b_2))}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x+(b_1+b_2)-(m_1+m_2)x_0-(b_1+b_2)}{x-x_0} \\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x-(m_1+m_2)x_0}{x-x_0} \\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(x-x_0)(m_1+m_2)}{x-x_0} \\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \left((m_1+m_2)\frac{x-x_0}{x-x_0}\right) \\ &=m_1+m_2 \end{align}$
  Somit ist .
2. Vielfachenfunktion:
  $\begin{align} f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x+ab_1-((am_1)x_0+ab_1)}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x+ab_1-(am_1)x_0-ab_1}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x)-(am_1)x_0}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{am_1(x-x_0)}{x-x_0}\\ &=am_1 \end{align}$
  Somit ist .
3. Produktfunktion:
  $\begin{align} f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2-(m_1m_2x_0^2+(m_1b_2+m_2b_1)x_0+b_1b_2)}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2-m_1m_2x_0^2-(m_1b_2+m_2b_1)x_0-b_1b_2)}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2(x^2-x_0^2)+(m_1b_2+m_2b_1)(x-x_0)}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2(x-x_0)(x+x_0)+(m_1b_2+m_2b_1)(x-x_0)}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} (m_1m_2(x+x_0)+(m_1b_2+m_2b_1)) &=m_1m_2 2x_0+(m_1b_2+m_2b_1)\\ \end{align}$
  Somit ist .