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Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/05 20:14
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1 (%class=abc%)
2 1. Nach der 3. Anmerkung ist {{formula}}f_q^\prime(x)=\ln(q)\cdot f_q(x){{/formula}}.
3 Nach Anmerkung 1. gilt {{formula}}f_q^\prime(0)=\ln(q){{/formula}}.
4 Insgesamt ist {{formula}}f_q(x)\cdot f_q^\prime(0)=q^x\cdot \ln(q)=f_q^\prime(x){{/formula}}.
5 1. (((Für {{formula}}q=e{{/formula}} ist {{formula}}f_q'(0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{e^h-1}{h}=1{{/formula}}
6 Nun schauen wir für weitere Werte von {{formula}}q{{/formula}}, was wir für kleine {{formula}}h{{/formula}} (z.B. {{formula}}h=0,000001{{/formula}}) erhalten zum Beispiel:
7 {{formula}}q=1: \ f_q'(0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1^h-1}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1-1}{h}=0\ {{/formula}}
8
9 {{formula}}q=2: \ f_q'(0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2^h-1}{h} \approx \frac{2^{0,000001}-1}{0,000001}\approx 0,693{{/formula}}
10
11 Wir stellen dabei fest, dass die zu untersuchende Abbildung der natürliche Logarithmus ist.
12 Die Funktionsgleichung ist also gegeben durch {{formula}}f_q'(0)=\ln(q){{/formula}})))
13 1. (((Zu zeigen ist {{formula}}f'(x)=b\cdot e^{bx}{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=e^{bx}{{/formula}}.
14 Für {{formula}}b=\ln(q){{/formula}} ist {{formula}}f(x)=q^x=f_q(x){{/formula}} und somit {{formula}}f^\prime(x)=f_q^\prime(x)= \ln(q)\cdot q^x{{/formula}}.
15
16 Ersetzen wir wieder {{formula}}\ln(q){{/formula}} mit {{formula}}b{{/formula}}, so erhalten wir
17 {{formula}}f^\prime(x)=\ln(q)\cdot q^x=b\cdot q^x=b\cdot e^{\ln(q)x}=b\cdot e^{bx}{{/formula}}
18 und haben die Ableitungsregel damit gezeigt.)))