Tipp Verschiebung durch Ableiten
Version 5.1 von Dirk Tebbe am 2026/03/03 08:30
Hinweis 1
Leite \(f^\prime\) ein paar mal ab, um zu sehen, was passiert. Bilde die Funktion \(f\) indem du die Ableitungsregeln umkehrst. Beachte dabei die Randbedingung \(f\left(0\right)=1\).Hinweis 2
Durch mehrmaliges Ableiten von \(f\) entsteht jedes Mal ein weiterer Vorfaktor 2.Überlege dir, welcher grafischen Transformation eine Multiplikation des Funktionsterms mit der Zahl 2 entspricht.
Hinweis 3
Die mehrmalige Multiplikation mit 2 ergibt eine Streckung in y-Richtung. Diese Streckung in y-Achsrichtung kann man jedoch auch als Verschiebung der Funktion \(f\) in x-Richtung deuten. Dazu muss man die hunderste Ableitung so umformen, dass eine Verschiebung in x-Richtung ersichtlich wird.Beispiel für die natürliche Exponentialfunktion:
\(f\left(x\right)=e^x\)
Streckung in y-Richtung mit dem Faktor a:
\(g\left(x\right)=a\cdot e^x\)
Jetzt kommt die algebraische Umformung (Formeln siehe Merkhilfe):
Zuerst bringen wir beide Faktoren auf dieselbe Basis:
\(g\left(x\right)=e^{\ln{\left(a\right)}}\cdot e^x\)
„Zwei Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem die Exponenten addiert werden und die Basis beibehalten wird.“ (erstes Potenzgesetz)
\(g\left(x\right)=e^{\ln{\left(a\right)}+x}\)
Das heißt die Transformation kann ebenso als Verschiebung um \(\ln{\left(a\right)}\) nach links verstanden werden:
\(g\left(x\right)=f\left(x+\ln{\left(a\right)}\right)\)