Lösung Funktion gesucht

Bestimme einen Funktionsterm, dessen Graph an der Stelle x = 2 die Tangente \(g(x)=\frac12x+1\) hat.

Vorgehensweise:

• man wählt eine beliebige Funktion, die an irgendeiner Stelle die Steigung \(\frac12\) hat
• man bestimmt diese Stelle und den zugehörigen Funktionswert → \(P(x_0|y_0)\)
• schließlich transformiert man die Funktion so, dass der Punkt P bei \((2|g(2))=(2|2)\) zu liegen kommt.

Z.B. mit Potenzfunktion

\(f(x)=x^2 \Rightarrow f'(x)=2x\)
\(f'(x)=\frac12 \Rightarrow 2x=\frac12 \Rightarrow x=\frac14\)
\(f(\frac14)=\frac1{16} \Rightarrow P(\frac14|\frac1{16})\)
Verschieben von f um \(\frac74\) nach rechts und \(\frac{31}{16}\) nach oben:
\(h(x)=(x-\frac74)^2+\frac{31}{16}\)

Probe:
\(h(2)=(2-\frac74)^2+\frac{31}{16}=2 = g(2)\)

\(h'(x)=2x-\frac72\)
\(h'(2)=\frac12 = g'(2)\)