Lösung Tangente Funktionsschar

Version 1.1 von akukin am 2024/10/03 17:13

Teilaufgabe 1

Erwartungshorizont

Erläuterung der Lösung

Es können zwei Punkte aus der Abbildung abgelesen werden, die auf der Geraden (Tangente) liegen, z. B. $A\left(0\middle|-8\right)$ und $B\left(2\middle|0\right)$ .
Ansatz für eine Gerade: y=mx+b

Die Steigung der Geraden kann berechnet werden: $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{0-\left(-8\right)}{2-0}=4$
Eine Punktprobe mit dem Punkt

liefert den y-Achsenabschnitt b=-8

.
Folglich lautet die Geradengleichung y=4x-8

Teilaufgabe 2

Erwartungshorizont

Gleichung der Tangente: y=mx+n

$f_a\left(u\right)=a\cdot u^2; \ m=f_a^\prime\left(u\right)=2a\cdot u$
$a\cdot u^2=2a\cdot u\cdot u+n \ \ \Leftrightarrow \ \ n=-a\cdot u^2, d. h. n=-f_a\left(u\right)$

Erläuterung der Lösung

Ansatz für die transformierte Funktion

:
$g\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot x^2, \ a>0$
Bestimmung der Gleichung der Tangente an den Graphen von

im Punkt $\left(u\middle| g\left(u\right)\right)$ :
Allgemeine Tangentengleichung: $y=g^\prime\left(u\right)\cdot\left(x-u\right)+g\left(u\right)$
In unserem Fall: $g^\prime\left(x\right)=a\cdot x \ \ \Leftrightarrow \ \ g^\prime\left(u\right)=a\cdot u$ $g\left(u\right)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2$
Eingesetzt in die Tangentengleichung:
$y=a\cdot u\cdot\left(x-u\right)+\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2$ $y=a\cdot u\cdot x-a\cdot u^2+\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2$ $y=a\cdot u\cdot x-\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2$
Folglich ist der y-Achsenabschnitt der Tangente $-\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2$ , was – wie in der Aufgabe gefordert, $-g\left(u\right)$ entspricht. Also geht die Tangente unabhängig von der Streckung auch immer durch den zweiten angegebenen Punkt $\left(0\middle|-g\left(u\right)\right)$ .