Lösung Tangente und Berührpunkt
Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/20 19:03
Teilaufgabe 1
Erwartungshorizont
\(y=4x-8\)Erläuterung der Lösung
Der y-Achsenabschnitt kann an der y-Achse abgelesen werden (\(-8\)).
Die Steigung kann mit Hilfe eines Steigungsdreiecks ermittelt werden. Für jedes Kästchen, das man nach rechts geht, muss man 4 Kästchen nach oben gehen, um wieder zur Geraden zu gelangen. Also ist die Steigung \(4\).
Und damit haben wir die Geradengleichung: \(y=4x-8\)Teilaufgabe 2
Erwartungshorizont
Gleichung der Tangente: \(y=mx+n\)
\(f\left(u\right)=\frac{1}{2}u^2;\ \ m=f^\prime\left(u\right)=u\)
\(\frac{1}{2}u^2=u\cdot u+n\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ n=-\frac{1}{2}u^2\), das heißt \(n=-f\left(u\right)\)Erläuterung der Lösung
Die erste Ableitungsfunktion \(f^\prime\) der Funktion \(f\) mit \(f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2\) lautet:\(f^\prime\left(x\right)=x\)
Das heißt an jeder beliebigen Stelle \(u\), an der wir eine Tangente anlegen, ist die Steigung der Tangente auch \(u\), da gilt:
\(f^\prime\left(u\right)=u\)
Wir wissen also schon, dass die Gleichung der Tangente, die wir an der Stelle \(u\) an den Graphen von \(f\) anlegen, folgende Form hat:\(y=u\cdot x+b\)
wobei \(b\) wie immer der y-Achsenabschnitt ist.
Das noch fehlende \(b\) können wir z. B. mit einer Punktprobe ermitteln. Wir wissen ja, dass der Punkt \(\left(u\middle| f\left(u\right)\right)\) der Berührpunkt ist, an dem die Tangente den Graphen berührt. Folglich liegt dieser Punkt auch auf der Tangente, und wir können ihn für die Punktprobe verwenden:\(y=u\cdot x+b\) wird zu \(f\left(u\right)=u\cdot u+b\), wenn man den Punkt \(\left(u\middle| f\left(u\right)\right)\) einsetzt.
Nun stellen wir nach \(b\) um:\(f\left(u\right)=u^2+b\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ b=f\left(u\right)-u^2\)
Als Letztes setzen wir für \(f\left(u\right)\) den Funktionswert \(\frac{1}{2}u^2\) ein:
\(b=\frac{1}{2}u^2-u^2=-\frac{1}{2}u^2\)
Damit lautet die Tangentengleichung:\(y=u\cdot x-\frac{1}{2}u^2\)
(Diese Tangentengleichung hätte man auch mit Hilfe der Formel aus der Merkhilfe ermitteln können.)
Für jedes \(u\in\mathbb{R}\) gibt es eine eigene Tangente, und jede dieser Geraden schneidet die y-Achse im Punkt \(\left(0\middle|-\frac{1}{2}u^2\right)\).Also ist die Behauptung wahr.