BPE 13 Einheitsübergreifend

Version 5.1 von Holger Engels am 2023/11/23 14:58

Aufgabe 1 Uneigentliches Integral 𝕃

Betrachtet wird für negative rationale Zahlen q die Potenzfunktion p mit $p(x)=x^q;\: x\neq 0$ .

Für $b \rightarrow \infty$ heißt $U_q=\int_1^b{p(x)}\cdot dx$ uneigentliches Integral über p, falls U_q eine reelle Zahl ergibt.

Überprüfe, für welche Werte von q das uneigentliche Integral U_q existiert.

x hoch minus 2.png

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Aufgabe 2 Annäherung 𝕃

cos und pot.png In $[0; \pi/2]$ soll die Funktion f mit $f(x)=\cos{x}$ durch eine Potenzfunktion g mit g(x)=1-ax^q angenähert werden, wobei q eine positive rationale Zahl ist und a so gewählt wird, dass der Graph von g ebenfalls bei π/2 eine Nullstelle besitzt.

Bestimme a in Abhängigkeit von q.
Begründe, weshalb ein kleiner Wert des Integrals
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)-g(x)\cdot dx$
ein guter Hinweis dafür ist, dass g eine gute Näherung für f ist.
Finde eine Potenzfunktion g, die f gemäß des Kriteriums von b) gut annähert.

(Bonus: Stelle f und die Annäherung aus c) mit Geogebra dar und berechne die durchschnittliche Abweichung von f und der Annäherungsfunktion.)

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