Wiki-Quellcode von Lösung Annäherung

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/14 17:21

version	line-number	content
4.1	1
	2	[[image:cos und pot.png\|\|width="300" style="float: right"]] a) //a// wird in Abhängigkeit von //q// so gewählt, dass {{formula}} \frac{\pi}{2}{{/formula}} eine Nullstelle von //g// ist:
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	4	{{formula}} g\bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)=0 \Leftrightarrow 1 - a \bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)^q=0{{/formula}}.
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	6	Auflösen nach //a// ergibt:
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	8	{{formula}} a \cdot \bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)^q=1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{\bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)^q}=\bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)^{-q}=\bigl(\frac{2}{\pi}\bigl)^q{{/formula}}.
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	10	b) Idee: Wenn //f// und //g// wie im Beispiel der Zeichnung keine Schnittpunkte in {{formula}}]0;\frac{\pi}{2}[{{/formula}} haben, dann ist ein kleiner Flächeninhalt zwischen den Graphen ein gutes Maß für eine kleine Abweichung zwischen den Graphen.
	11	Wenn //f// und //g// hingegen einen oder mehrere Schnittpunkte in {{formula}}]0;\frac{\pi}{2}[{{/formula}} haben, dann müssen aufgrund der Schnittpunkte bei 0 und π/2 und aufgrund der Rechtskrümmung beider Graphen die Teilflächen zwischen den Kurven klein sein und auch dann liegt eine gute Annäherung vor.
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7.1	13	c) Das Integral muss in Abhängigkeit von //q// ausgerechnet werden und soll dann möglichst klein sein:
4.1	14
	15	{{formula}}
10.1	16	\begin{align*}
4.1	17	& \int_0^{\pi/2}f(x)-g(x)dx \\
	18	&= \int_0^{\pi/2}\cos(x)-1+ \Bigl(\frac{2}{\pi}\Bigl)^q x^q dx\\
	19	&= \int_0^{\pi/2}\cos(x)+ \Bigl(\frac{2}{\pi}\cdot x \Bigl)^q - 1 dx\\
	20	&= \Bigl[\sin(x) + \frac{\frac{\pi}{2}}{q+1}\Bigl(\frac{2}{\pi}x\Bigl)^{q+1}-x\Bigl]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
	21	&= \sin\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigl) + \frac{\frac{\pi}{2}}{q+1}\cdot 1^{q+1}- \frac{\pi}{2}-(\sin(0) + \frac{\frac{\pi}{2}}{q+1} \cdot 0^{q+1}-0) \\
	22	&= 1 +\frac{\frac{\pi}{2}}{q+1} - \frac{\pi}{2} \\
	23	&= 1 + \frac{\pi}{2} \Bigl(\frac{1}{q+1}-1 \Bigl)
10.1	24	\end{align*}
4.1	25	{{/formula}}
	26
	27	Nullsetzen und Auflösen oder Wertetabelle mit WRT führt zu einer Nullstelle bei {{formula}} q= \frac{1}{1-\frac{2}{\pi}} -1 \approx 1,751 {{/formula}}.
	28	Für dieses //q// ist das Integral also gleich Null.
	29
5.2	30	Bonus:
	31	[[image:Bonusplot.png\|\|width="500"]]
4.1	32
	33	Schnittstelle laut Geogebra: {{formula}} x_S \approx 0,87018353{{/formula}}
	34
	35	{{formula}}\Bigl\| \int_0^{0,78018353} f(x)-g(x) dx \Bigl\| \approx 0,0066166 \Rightarrow A_{ges} = 0,01323321{{/formula}}
	36
	37	Es folgt eine durchschnittliche Abweichung von {{formula}} \frac{A_{ges}}{\pi/2} \approx 0,0084245{{/formula}}
	38