Lösung Schalldruck2

Version 4.2 von akukin am 2024/03/27 18:56

$\begin{align*} \lim_{t\to 0}{h\left(2+t\right)}&=\lim_{t\to 0}{\left(20\cdot\sin{\left(2+t-2\right)}+20\cdot\sin{\left(2\right)}\right)} \\ &=\lim_{t\to 0}{\left(20\cdot\sin{\left(t\right)}+20\cdot\sin{\left(2\right)}\right)}=20\cdot\sin{\left(2\right)} \end{align*}$

Also gilt: $h\left(2\right)= \lim \limits_{t\to0} h\left(2+t\right)$ und damit hat der Graph von h keinen Sprung, d.h. er ist stetig bei x=2 .

LösungSchalldruck2.png

Aus dem Graphen aus Teilaufgabe 1. ist ersichtlich, dass die Hochstelle im Intervall $\left[3;4\right]$ liegt.
$h\left(x\right)=20\cdot\sin{\left(x-2\right)}+20\cdot\sin{\left(2\right)} \ \text{für} \ 2<x\le4$
$h^\prime\left(x\right)=20\cdot\cos{\left(x-2\right)}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{\pi}{2}+2\approx3,5708$
Nach ca. 3,6 Sekunden ist der Weckton am lautesten.

$\begin{align*} \bar{m}&=\frac{1}{b-a}\cdot\int_{a}^{b}{h\left(x\right)\mathrm{d} x} \\ &=\frac{1}{4}\cdot\int_{0}^{4}{h\left(x\right)\mathrm{d} x}=\frac{1}{4}\cdot\int_{0}^{2}{20\cdot\sin{\left(x\right)}\mathrm{d} x}+\frac{1}{4}\cdot\int_{2}^{4}{\left(20\cdot\sin{\left(x-2\right)}+20\cdot\sin{\left(2\right)}\right)\mathrm{d} x} \\ &=5\cdot\left[-\cos{\left(x\right)}\right]_0^2+5\cdot\left[-\cos{\left(x-2\right)}+\sin{\left(2\right)}\cdot x\right]_2^4 \\ &=-10\cdot\cos{\left(2\right)}+10+10\cdot\sin{\left(2\right)}\approx23,25 \end{align*}$

Der durchschnittliche Funktionswert von ist ca. 23.

Es ist erkennbar, dass der rechte der beiden x-Werte sein muss (oder ). Gesucht ist der linke x-Wert:
$h\left(x\right)=h\left(2\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \ 20\cdot\sin{\left(x\right)}=20\cdot\sin{\left(2\right)}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=\pi-2\ \ \vee\ \ x=2$
Abstand: $d=2-\left(\pi-2\right)=4-\pi\approx0,8584$
Der größte Abstand beträgt ca. 0,86 Sekunden.