Lösung Sinusgraph

=== Teilaufgabe 1 ===

Der Graph {{formula}}G_f{{/formula}}, die x-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen {{formula}}x=-2{{/formula}} und {{formula}}x=8{{/formula}} schließen eine Fläche ein, deren Teil unterhalb der x-Achse einen kleineren Inhalt besitzt als deren Teil oberhalb. Deshalb ist der Wert des Integrals nicht negativ.

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Für beide Teilflächen unterhalb der x-Achse gibt es symmetrisch zur jeweiligen Nullstelle eine gleichgroße Teilfläche oberhalb der x-Achse (rot und blau). Die grüne Teilfläche bleibt übrig und zählt positiv zum Integral.

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Die Aufgabe könnte auch rechnerisch gelöst werden:

\begin{align}

\int_{-2}^{8}{2\cdot\sin{\left(\frac{1}{2}x\right)}\mathrm{d} x}&=\left[-4\cdot\cos{\left(\frac{1}{2}x\right)}\right]_{-2}^8 \\

14

&=-4\cdot\cos{\left(4\right)}-\left(-4\cdot\cos{\left(-1\right)}\right) \\

15

&=-4\cdot\cos{\left(4\right)}+4\cdot\cos{\left(-1\right)}

\end{align}

Jedoch ist das Vorzeichen dieses Rechenergebnisses ohne Taschenrechner nur schwer zu ermitteln.

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=== Teilaufgabe 2 ===

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Wegen {{formula}}f^\prime\left(x\right)=\cos{\left(\frac{1}{2}x\right)}, f^\prime\left(0\right)=1{{/formula}} und {{formula}}f\left(0\right)=0{{/formula}} besitzt die Tangente an {{formula}}G_f{{/formula}} im Koordinatenursprung die Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}, die auch die Gerade durch die beiden gegebenen Punkte beschreibt.

Die Tangentengleichung kann mit folgender Formel ermittelt werden:

29

30

{{formula}}y=f^\prime\left(u\right)\cdot\left(x-u\right)+f\left(u\right){{/formula}}

31

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wobei {{formula}}x=u{{/formula}} diejenige Stelle ist, an der die Tangente am Graphen anliegt.

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Da in unserem Fall die Tangente durch den Ursprung gehen soll, ist {{formula}}u=0{{/formula}} und {{formula}}f\left(u\right)=0{{/formula}}:

35

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{{formula}}y=f^\prime\left(0\right)\cdot x{{/formula}}

37

38

Wir benötigen also nur noch {{formula}}f^\prime\left(0\right){{/formula}}:

39

40

{{formula}}f\left(x\right)=2\cdot\sin{\left(\frac{1}{2}x\right)}\ \ \Rightarrow\ f^\prime\left(x\right)=\cos{\left(\frac{1}{2}x\right)}{{/formula}}

41

42

{{formula}}f^\prime\left(0\right)=\cos{\left(0\right)}=1{{/formula}}

43

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Folglich lautet die Gleichung der Tangente:

45

{{formula}}y=x{{/formula}}

46

Zwei Punktproben mit den Punkten {{formula}}\left(-1\middle|-1\right){{/formula}} und {{formula}}\left(1\middle|1\right){{/formula}} liefern wahre Aussagen, das heißt die Punkte liegen auf der Tangente.

47

author	version	line-number	content
		1	=== Teilaufgabe 1 ===
		2	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		3	Der Graph {{formula}}G_f{{/formula}}, die <i>x</i>-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen {{formula}}x=-2{{/formula}} und {{formula}}x=8{{/formula}} schließen eine Fläche ein, deren Teil unterhalb der <i>x</i>-Achse einen kleineren Inhalt besitzt als deren Teil oberhalb. Deshalb ist der Wert des Integrals nicht negativ.
		4	{{/detail}}
		5
		6	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		7	Für beide Teilflächen unterhalb der <i>x</i>-Achse gibt es symmetrisch zur jeweiligen Nullstelle eine gleichgroße Teilfläche oberhalb der <i>x</i>-Achse (rot und blau). Die grüne Teilfläche bleibt übrig und zählt positiv zum Integral.
		8
		9	Die Aufgabe könnte auch rechnerisch gelöst werden:
		10
		11	{{formula}}
		12	\begin{align}
		13	\int_{-2}^{8}{2\cdot\sin{\left(\frac{1}{2}x\right)}\mathrm{d} x}&=\left[-4\cdot\cos{\left(\frac{1}{2}x\right)}\right]_{-2}^8 \\
		14	&=-4\cdot\cos{\left(4\right)}-\left(-4\cdot\cos{\left(-1\right)}\right) \\
		15	&=-4\cdot\cos{\left(4\right)}+4\cdot\cos{\left(-1\right)}
		16	\end{align}
		17	{{/formula}}
		18
		19	Jedoch ist das Vorzeichen dieses Rechenergebnisses ohne Taschenrechner nur schwer zu ermitteln.
		20
		21	{{/detail}}
		22	=== Teilaufgabe 2 ===
		23	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		24	Wegen {{formula}}f^\prime\left(x\right)=\cos{\left(\frac{1}{2}x\right)}, f^\prime\left(0\right)=1{{/formula}} und {{formula}}f\left(0\right)=0{{/formula}} besitzt die Tangente an {{formula}}G_f{{/formula}} im Koordinatenursprung die Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}, die auch die Gerade durch die beiden gegebenen Punkte beschreibt.
		25	{{/detail}}
		26
		27	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		28	Die Tangentengleichung kann mit folgender Formel ermittelt werden:
		29	<br>
		30	{{formula}}y=f^\prime\left(u\right)\cdot\left(x-u\right)+f\left(u\right){{/formula}}
		31	<br>
		32	wobei {{formula}}x=u{{/formula}} diejenige Stelle ist, an der die Tangente am Graphen anliegt.
		33	<br>
		34	Da in unserem Fall die Tangente durch den Ursprung gehen soll, ist {{formula}}u=0{{/formula}} und {{formula}}f\left(u\right)=0{{/formula}}:
		35	<br>
		36	{{formula}}y=f^\prime\left(0\right)\cdot x{{/formula}}
		37	<br>
		38	Wir benötigen also nur noch {{formula}}f^\prime\left(0\right){{/formula}}:
		39	<br>
		40	{{formula}}f\left(x\right)=2\cdot\sin{\left(\frac{1}{2}x\right)}\ \ \Rightarrow\ f^\prime\left(x\right)=\cos{\left(\frac{1}{2}x\right)}{{/formula}}
		41	<br>
		42	{{formula}}f^\prime\left(0\right)=\cos{\left(0\right)}=1{{/formula}}
		43	<br>
		44	Folglich lautet die Gleichung der Tangente:
		45	{{formula}}y=x{{/formula}}
		46	Zwei Punktproben mit den Punkten {{formula}}\left(-1\middle\|-1\right){{/formula}} und {{formula}}\left(1\middle\|1\right){{/formula}} liefern wahre Aussagen, das heißt die Punkte liegen auf der Tangente.
		47	{{/detail}}

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