Lösung Stau1

Version 1.1 von akukin am 2024/03/07 17:19

$x_1=0;x_2=\frac{8}{5};x_3=4$ sind die einzigen Nullstellen von f, denn der Funktionsterm ist in Produktform und hat drei Faktoren, die jeweils für diese Werte von null werden.
Zeitpunkte: 6:00 Uhr; 7:36 Uhr; 10:00 Uhr
Um 8:00 Uhr nimmt die Länge des Staus ab.
$f\left(x\right)=-\frac{5}{16}x^4+3x^3-9x^2+8x\ \ \ \Rightarrow\ \ \ f^\prime\left(x\right)=-\frac{5}{4}x^3+9x^2-18x+8 f^\prime\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x_1=\frac{8}{5}-\frac{2}{5}\sqrt{6} \approx 0,6202;\ \ x_2=\frac{8}{5}+\frac{2}{5}\sqrt{6}\approx2,5798;\ \ x_3=4 f\left(0\right)=0;\ \ f\left(x_1\right)\approx2,169;\ \ f\left(x_2\right)\approx-1,593;\ \ f\left(x_3\right)=0$
Um 6:37 Uhr nimmt die Staulänge am stärksten zu. Die Änderungsrate beträgt zu diesem Zeitpunkt 2,169 km/h.
Zwischen 6:00 Uhr und 7:36 Uhr verläuft der Graph von über der x-Achse. Da die Staulänge das Integral über $f\left(x\right)$ zwischen x=0 und dem aktuellen Zeitpunkt ist, muss der Stau um 7:36 Uhr am längsten sein.