Lösung Stau1

1. \(x_1=0;x_2=\frac{8}{5};x_3=4\) sind die einzigen Nullstellen von \(f\), denn der Funktionsterm ist in Produktform und hat drei Faktoren, die jeweils für diese Werte von \(x\) null werden.
   Zeitpunkte: 6:00 Uhr; 7:36 Uhr; 10:00 Uhr
2. Um 8:00 Uhr nimmt die Länge des Staus ab.
3. \(f\left(x\right)=-\frac{5}{16}x^4+3x^3-9x^2+8x\ \ \ \Rightarrow\ \ \ f^\prime\left(x\right)=-\frac{5}{4}x^3+9x^2-18x+8\)
   \(f^\prime\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x_1=\frac{8}{5}-\frac{2}{5}\sqrt{6} \approx 0,6202;\ \ x_2=\frac{8}{5}+\frac{2}{5}\sqrt{6}\approx2,5798;\ \ x_3=4\)
   \(f\left(0\right)=0;\ \ f\left(x_1\right)\approx2,169;\ \ f\left(x_2\right)\approx-1,593;\ \ f\left(x_3\right)=0\)
   Damit nimmt die Staulänge etwa 0,6202 Stunden nach 06:00 Uhr, das heißt um 6:37 Uhr, am stärksten zu. Die Änderungsrate beträgt zu diesem Zeitpunkt 2,169 km/h.
4. Zwischen 6:00 Uhr und 7:36 Uhr verläuft der Graph von \(f\) über der x-Achse. Da die Staulänge das Integral über \(f\left(x\right)\) zwischen \(x=0\) und dem aktuellen Zeitpunkt ist, muss der Stau um 7:36 Uhr am längsten sein.
5. Die Aussage ist richtig, wenn gilt, dass die Funktion \(s\) die Integralfunktion über \(f\left(t\right)\) mit der unteren Grenze \(t=0\) (6:00 Uhr) ist:
   \(s\left(x\right)=\int_{0}^{x}{f\left(t\right)\mathrm{d} t}\)
   Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung besagt:
   \(\left(\int_{0}^{x}{f\left(t\right)\mathrm{d} t}\right)^\prime=f\left(x\right)\)
   Also muss gelten: \(s^\prime\left(x\right)=f\left(x\right)\)
   \(s\left(x\right)=-\frac{1}{16}x^5+\frac{3}{4}x^4-3x^3+\ 4x^2\ \ \ \Rightarrow\ \ \ s^\prime\left(x\right)=-\frac{5}{16}x^4+3x^3-9x^2+8x=f\left(x\right)\)
   Zudem muss gelten: \(s\left(0\right)=0\)
   Da beide Voraussetzungen erfüllt sind, gibt \(s\left(x\right)\) tatsächlich die Staulänge wieder.
   Zudem gilt \(s\left(4\right)=0\), das heißt der Stau hat sich nach vier Stunden (um 10:00 Uhr) aufgelöst.
6. \(\bar{m}=\frac{1}{2-0,5}\cdot\int_{0,5}^{2}{f\left(x\right)\mathrm{d} x}=\ \frac{1}{1,5}\cdot\left(s\left(2\right)-s\left(0,5\right)\right)=\frac{2}{3}\left(2-\frac{343}{512}\right)=\frac{227}{256}\approx0,8867\)
7. \(s\left(x\right)+0,5=s\left(x-1\right)\)
   MMS: \(x_1=0,5299;\ x_2=2,3195;\ x_3=4,049;\ x_4=4,701\)
   Nur für \(x_2\) sind beide Zeitpunkte im Definitionsbereich.
   Der gesuchte Zeitpunkt ist 8:19 Uhr.
8. 

Die Inhalte der Flächen, die der Graph mit der x-Achse für \(1,5\le x\le a\) und \(a\le x\le b\) einschließt, müssen übereintimmen.