Lösung Abstand Punkt Gerade
Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/02/04 12:57
Gegeben sind der Punkt \(P(4|8|4)\) und der Punkt
\[Q_t = \left(\begin{array}{c} 2 + 1t \\ 4 + 2t \\ 6 + 0t \end{array}\right)\]
in Abhängigkeit von t.
Der Abstand ergibt sich aus:
\[d(t) = \sqrt{(2+t-4)^2+(4+2t-8)^2+(6-4)^2} = \sqrt{(t-2)^2+(2t-4)^2+4}\]
\[~~= \sqrt{t^2-4t+4+4t^2-16t+16+4} = \sqrt{5t^2-20t+24}\]
Die Extrema dieser Funktion liegen an der gleichen Stelle, wie die Extrema von \(d(t)^2\):
\[f(t)=5t^2-20t+24\]
\[\Rightarrow f'(t)=10t-20\]
Suche nach Nullstelle der Ableitung:
\[f'(t)=0 \Rightarrow 10t-20=0 \Rightarrow t = 2\]
Es handelt sich um eine einfache NS mit VZW von ⊖ nach ⊕, also um ein Minimum.
Der minimale Abstand ergibt sich durch einsetzen in d:
\[d(2) = \sqrt{5\cdot2^2-20\cdot2+24} = \sqrt{4} = 2\]