Der Abstand der Punkte \(P(u|f(u))\) und \(Q(u|g(u))\) ist gegeben durch
\(d(u)=|f(u)-g(u)|=|-e^{-0,25u}-0,5u+2-(-0,5u+1)|=|-e^{-0,25u}+1|\).
Die Ableitung ist für \(u<0\) gegeben durch
\(d'(u)=-0,25\cdot e^{-0,25u}\) und für \(u>0\) durch \(d'(u)=0,25\cdot e^{-0,25u}\). In beiden Fällen kann die Ableitung nie null werden, da die e-Funktion nie null wird.
Nun müssen wir nur noch die Funktionsränder \(u=-6\) und \(u=3\) einsetzen und schauen, an welcher Stelle der Abstand der Punkte maximal ist:
\(\begin{align*}
d(-6)&=|-e^{-0,25\cdot(-6)}+1|=|-e^{1,5}+1|\approx |-3,482|=3,482
d(3)&=|-e^{-0,25\cdot 3}+1|=|-e^{-0,75}+1|\approx |0,528|=0,528
\end{align*}\)
Der Abstand ist somit für \(u=-6\) maximal.