Lösung Abstand zweier Kurvenpunkte berechnen

Der Abstand der Punkte \(P(u|f(u))\) und \(Q(u|g(u))\) ist gegeben durch
\(d(u)=|f(u)-g(u)|=|-e^{-0,25u}-0,5u+2-(-0,5u+1)|=|-e^{-0,25u}+1|\).

Die Ableitung ist für \(u<0\) gegeben durch
\(d'(u)=-0,25\cdot e^{-0,25u}\) und für \(u>0\) durch \(d'(u)=0,25\cdot e^{-0,25u}\).
In beiden Fällen kann die Ableitung nie null werden, da die e-Funktion nie null wird. Somit lassen sich keine Extrema berechnen.

Nun müssen wir nur noch die Definitionsränder \(u=-6\) und \(u=3\) einsetzen und schauen, an welcher Stelle der Abstand der Punkte maximal ist:
\(\begin{align*} d(-6)&=|-e^{-0,25\cdot(-6)}+1|=|-e^{1,5}+1|\approx |-3,482|=3,482 \\ d(3)&=|-e^{-0,25\cdot 3}+1|=|-e^{-0,75}+1|\approx |0,528|=0,528 \end{align*}\)

Der maximale Abstand ist somit \(3,482\).