Gegeben: \( \overline{AD}= 500\text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};\)
Geschwindigkeit von \(A\) nach \(D\): \(v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}}\);
Geschwindigkeit von \(D\) nach \(C\): \(v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}\)
Gesucht: \(x\)
Da der Sportler den Weg von \(D\) zu \(C\) 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von \(A\) zu \(D\), lautet die Hauptbedingung:
\(S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}\)
Die Nebenbedingungen lauten:
\(\overline{AD}= \sqrt{500^2+x^2}\)
\(\overline{DC}= 1000 - x\)
Somit lautet die Zielfunktion:
\(S(x)= 6 \cdot \sqrt{500^2+x^2} + 1000 - x \)
mit den Ableitungen
\(S'(x)= \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1\)
\(S''(x)= 6x \bigl(-\frac{1}{2}(500^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x \bigl) + 6(500^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}\)
Durch die notwendige Bedingung \(S'(x)=0\) ergibt sich
Aufgrund des Zusammenhanges kommt nur die positive Lösung in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt
\(S''\bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\bigl) \approx 0,0115 >0 \rightarrow\) Minimum