Lösung Fluß

Zuletzt geändert von akukin am 2024/02/02 17:18

Gegeben: \( \overline{AD}= 500\text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};\)
Geschwindigkeit von \(A\) nach \(D\): \(v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}}\);
Geschwindigkeit von \(D\) nach \(C\): \(v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}\)

Gesucht: Wie groß muss \(x\) sein, sodass er möglichst schnell von \(A\) nach \(C\) kommt?

Da der Sportler den Weg von \(D\) zu \(C\) 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von \(A\) zu \(D\), lautet die Hauptbedingung:

\[S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}\]

Die Nebenbedingungen lauten:
\(\overline{AD}= \sqrt{500^2+x^2}\)
\(\overline{DC}= 1000 - x\)

Somit lautet die Zielfunktion:
\(S(x)= 6 \cdot \sqrt{500^2+x^2} + 1000 - x \)

mit den Ableitungen

\(S'(x)= \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1\)
\(S''(x)= 6x \bigl(-\frac{1}{2}(500^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x \bigl) + 6(500^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}\)

Durch die notwendige Bedingung \(S'(x)=0\) ergibt sich

\[\begin{align*} &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1&=&\: 0 &&\mid +1\\ \Leftrightarrow &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}&=&\: 1 &&\mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\ \Leftrightarrow &\: 6x &=&\: \sqrt{500^2+x^2} &&\mid ()^2 \\ \Leftrightarrow &\: 36x^2 &=&\: 500^2+x^2 &&\mid -x^2 \\ \Leftrightarrow &\: 35x^2 &=&\: 500^2 &&\mid :35 \\ \Leftrightarrow &\: x^2 &=&\: \frac{500^2}{35} &&\mid \sqrt \\ \Leftrightarrow &\: x_{1,2} &=&\: \pm \frac{100\sqrt{35}}{7} & \end{align*}\]

Dabei kommt nur die positive positive Lösung \(x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}\) in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt
\(S''\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) \approx 0,0115 >0 \rightarrow\) Minimum

Einsetzen in die Zielfunktion liefert

\(S\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) = 6 \cdot \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}+1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 3958,04\).

An den Randwerten des Definitionsbereiches \(D=[0;1000]\) erhält man
\(S(0)=4000\) und \(S(1000)\approx 6708\).

Demnach liegt bei \(x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}\) ein globales Minimum vor, denn \(S(x_1)\approx 3958,04 < 4000(\) (und \(S(x_1)\approx 3958,04 < 6708\)).

Fluss berechnet.PNG
Nun setzt man \(x_1\) in die NB ein:
\(\overline{AD}= \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}\approx 507,09 \text{m}\)
\(\overline{DC}= 1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 915,49 \text{m}\)

\[\implies \overline{AD} + \overline{DC} = 507,09 \text{m}+915,49 \text{m} = 1422,58 \text{m}\]

Für die Dauer ergibt sich jeweils
\( t_{AD}= \frac{507,09 \text{m}}{50 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 10,14 \text{min}\)
\(t_{DC} = \frac{915,49 \text{m}}{300 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 3,05 \text{min} \)

Und damit insgesamt
\(t_{ges}=10,14 \text{min}+3,05 \text{min} = 13,19 \text{min} \rightarrow\) 13 min 11 sec