Wiki-Quellcode von Lösung Drei Punkte

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/05/13 16:53

version	line-number	content
2.1	1	Um zu prüfen, ob die Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, stellen wir eine Geradengleichung durch zwei Punkte auf (zum Beispiel {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}}) und prüfen, ob der dritte Punkt auf der Geraden liegt, indem wir den Punkt mit der Gerade gleichsetzen.
1.1	2
2.1	3	Zum Aufstellen der Geradengleichung wählen wir z.B. {{formula}}A{{/formula}} als Aufhängepunkt und {{formula}}\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} {{/formula}} als Richtungsvektor und erhalten die Geradengleichung:
1.1	4
2.1	5	{{formula}}g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
1.1	6
3.1	7	//Hinweis: Auch {{formula}}B{{/formula}} könnte als Aufhängepunkt verwendet werden. Auch Vielfache des Richtungsvektors
	8	könnten verwendet werden.//
1.1	9
3.1	10	Wir setzen nun {{formula}}C{{/formula}} mit der Gerade gleich:
	11
1.1	12	{{formula}}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
	13
3.1	14	und erhalten somit folgendes LGS:
1.1	15	{{formula}}
	16	\begin{align*}
3.1	17	\text{I}: \ 3&=4-2t \\
	18	\text{II}: \ 1&=2t \\
	19	\text{III}: \ 1&=t
1.1	20	\end{align*}
2.1	21	{{/formula}}
1.1	22
2.1	23	Aus {{formula}}\text{I}{{/formula}}: {{formula}}3=4-2t \ \Leftrightarrow \ t=\frac{1}{2}{{/formula}}.
1.1	24
2.1	25	Wir setzen {{formula}}t=\frac{1}{2}{{/formula}} in {{formula}}\text{II}{{/formula}} ein:
	26	{{formula}}0+\frac{1}{2}\cdot 2=1{{/formula}} (wahre Aussage).
	27
	28	Wir setzen {{formula}}t=\frac{1}{2}{{/formula}} in {{formula}}\text{III}{{/formula}} ein:
	29	{{formula}}0+\frac{1}{2}\cdot 1=1{{/formula}} (falsche Aussage).
	30
1.1	31	Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} liegen somit nicht auf einer gemeinsamen Gerade.
	32
	33
	34
	35	Alternative Lösung:
	36	Um zu prüfen, ob die Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, bilden wir die Stützvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}} und prüfen, ob die beiden Vektoren Vielfachen voneinander sind/linear abhängig sind:
	37
	38	{{formula}}\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-4 \\ 2-0 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} {{/formula}}
	39
	40	{{formula}}\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 3-4 \\ 1-0 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
	41
	42	Wir prüfen nun zeilenweise, ob es ein {{formula}}k{{/formula}} gibt, sodass {{formula}}\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{AC} \ \Leftrightarrow \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=k\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}} gilt.
	43
	44	Zeile I: {{formula}}-2=k\cdot (-1) \Leftrightarrow k=2{{/formula}}
	45	Zeile II: {{formula}}2=k\cdot 1 \Leftrightarrow k=2{{/formula}}
	46	Zeile III: {{formula}}1=k\cdot 1 \Leftrightarrow k=1 \neq 2{{/formula}}
	47
	48	Da wir in der dritten Zeile einen anderen Wert für {{formula}}k{{/formula}} erhalten, sind die Vektoren keine Vielfachen voneinander (sie sind linear unabhängig). Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} liegen somit nicht auf einer gemeinsamen Gerade.