Lösung Drei Punkte

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Um zu prüfen, ob die Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, stellen wir eine Geradengleichung durch zwei Punkte auf (zum Beispiel {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}}) und prüfen, ob der dritte Punkt auf der Geraden liegt, indem wir den Ortsvektor des dritten Punktes in die Geradengleichung einsetzen.

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Zum Aufstellen der Geradengleichung verwenden wir {{formula}}\overrightarrow{OA}{{/formula}} als Stützvektor und {{formula}}\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-4 \\ 2-0 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} {{/formula}} als Richtungsvektor und erhalten:

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{{formula}}g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}

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Einsetzen von {{formula}}\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}} in die Geradengleichung:

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{{formula}}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}

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Wir erhalten komponentenweise aus den einzelnen Zeilen folgendes LGS:

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\begin{align*}

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3&=4-2r \ &&\Leftrightarrow \ r=\frac{1}{2} \\

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1&=2r \ &&\Leftrightarrow \ r=\frac{1}{2} \\

1&=r

\end{align*}

{{/formula}}.

Da sich aus der dritten Gleichung ein anderer Wert für {{formula}}r{{/formula}} ergibt als aus den anderen beiden Gleichungen, erfüllt Punkt {{formula}}C{{/formula}} die Geradengleichung nicht.

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Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} liegen somit nicht auf einer gemeinsamen Gerade.

**Alternative Lösung: **

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Um zu prüfen, ob die Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, bilden wir die Stützvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}} und prüfen, ob die beiden Vektoren Vielfachen voneinander sind/linear abhängig sind:

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{{formula}}\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-4 \\ 2-0 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} {{/formula}}

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{{formula}}\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 3-4 \\ 1-0 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}

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Wir prüfen nun zeilenweise, ob es ein {{formula}}k{{/formula}} gibt, sodass {{formula}}\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{AC} \ \Leftrightarrow \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=k\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}} gilt.

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Zeile I: {{formula}}-2=k\cdot (-1) \Leftrightarrow k=2{{/formula}}

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Zeile II: {{formula}}2=k\cdot 1 \Leftrightarrow k=2{{/formula}}

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Zeile III: {{formula}}1=k\cdot 1 \Leftrightarrow k=1 \neq 2{{/formula}}

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Da wir in der dritten Zeile einen anderen Wert für {{formula}}k{{/formula}} erhalten, sind die Vektoren keine Vielfachen voneinander (sie sind linear unabhängig). Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} liegen somit nicht auf einer gemeinsamen Gerade.

Wiki-Quellcode von Lösung Drei Punkte