Lösung Drei Punkte

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Um zu prüfen, ob die Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, stellen wir eine Geradengleichung durch zwei Punkte auf (zum Beispiel {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}}) und prüfen, ob der dritte Punkt auf der Geraden liegt, indem wir den Punkt mit der Gerade gleichsetzen.

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Zum Aufstellen der Geradengleichung wählen wir z.B. {{formula}}A{{/formula}} als Aufhängepunkt und {{formula}}\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} {{/formula}} als Richtungsvektor und erhalten die Geradengleichung:

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{{formula}}g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}

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//Hinweis: Auch {{formula}}B{{/formula}} könnte als Aufhängepunkt verwendet werden. Auch Vielfache des Richtungsvektors

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könnten verwendet werden.//

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Wir setzen nun {{formula}}C{{/formula}} mit der Gerade gleich:

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{{formula}}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}

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und erhalten somit folgendes LGS:

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\begin{align*}

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\text{I}: \ 3&=4-2t \\

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\text{II}: \ 1&=2t \\

\text{III}: \ 1&=t

\end{align*}

Aus {{formula}}\text{I}{{/formula}}: {{formula}}3=4-2t \ \Leftrightarrow \ t=\frac{1}{2}{{/formula}}.

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Wir setzen {{formula}}t=\frac{1}{2}{{/formula}} in {{formula}}\text{II}{{/formula}} ein:

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{{formula}}0+\frac{1}{2}\cdot 2=1{{/formula}} (wahre Aussage).

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Wir setzen {{formula}}t=\frac{1}{2}{{/formula}} in {{formula}}\text{III}{{/formula}} ein:

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{{formula}}0+\frac{1}{2}\cdot 1=1{{/formula}} (falsche Aussage).

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Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} liegen somit nicht auf einer gemeinsamen Gerade.

**Alternative Lösung: **

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Um zu prüfen, ob die Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, bilden wir die Stützvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}} und prüfen, ob die beiden Vektoren Vielfachen voneinander sind/linear abhängig sind:

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{{formula}}\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-4 \\ 2-0 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} {{/formula}}

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{{formula}}\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 3-4 \\ 1-0 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}

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Wir prüfen nun zeilenweise, ob es ein {{formula}}k{{/formula}} gibt, sodass {{formula}}\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{AC} \ \Leftrightarrow \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=k\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}} gilt.

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Zeile I: {{formula}}-2=k\cdot (-1) \Leftrightarrow k=2{{/formula}}

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Zeile II: {{formula}}2=k\cdot 1 \Leftrightarrow k=2{{/formula}}

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Zeile III: {{formula}}1=k\cdot 1 \Leftrightarrow k=1 \neq 2{{/formula}}

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Da wir in der dritten Zeile einen anderen Wert für {{formula}}k{{/formula}} erhalten, sind die Vektoren keine Vielfachen voneinander (sie sind linear unabhängig). Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} liegen somit nicht auf einer gemeinsamen Gerade.

Wiki-Quellcode von Lösung Drei Punkte