Lösung Drei Punkte

Zuletzt geändert von akukin am 2026/05/10 18:09

Um zu prüfen, ob die Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, stellen wir eine Geradengleichung durch zwei Punkte auf (zum Beispiel \(A\) und \(B\)) und prüfen, ob der dritte Punkt auf der Geraden liegt, indem wir den Ortsvektor des dritten Punktes in die Geradengleichung einsetzen.

Zum Aufstellen der Geradengleichung verwenden wir \(\overrightarrow{OA}\) als Stützvektor und \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-4 \\ 2-0 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) als Richtungsvektor und erhalten:

\[g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Einsetzen von \(\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) in die Geradengleichung:

\[\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Wir erhalten komponentenweise aus den einzelnen Zeilen folgendes LGS:
\(\begin{align*} 3&=4-2r \ &&\Leftrightarrow \ r=\frac{1}{2} \\ 1&=2r \ &&\Leftrightarrow \ r=\frac{1}{2} \\ 1&=r \end{align*}\).

Da sich aus der dritten Gleichung ein anderer Wert für \(r\) ergibt als aus den anderen beiden Gleichungen, erfüllt Punkt \(C\) die Geradengleichung nicht.

Die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) liegen somit nicht auf einer gemeinsamen Gerade.

Alternative Lösung:
Um zu prüfen, ob die Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, bilden wir die Stützvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) und prüfen, ob die beiden Vektoren Vielfachen voneinander sind/linear abhängig sind:

\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-4 \\ 2-0 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \]

\[\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 3-4 \\ 1-0 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Wir prüfen nun zeilenweise, ob es ein \(k\) gibt, sodass \(\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{AC} \ \Leftrightarrow \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=k\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) gilt.

Zeile I: \(-2=k\cdot (-1) \Leftrightarrow k=2\)
Zeile II: \(2=k\cdot 1 \Leftrightarrow k=2\)
Zeile III: \(1=k\cdot 1 \Leftrightarrow k=1 \neq 2\)

Da wir in der dritten Zeile einen anderen Wert für \(k\) erhalten, sind die Vektoren keine Vielfachen voneinander (sie sind linear unabhängig). Die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) liegen somit nicht auf einer gemeinsamen Gerade.