Lösung Lagebeziehung von Geraden
Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/05/27 18:27
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
Alle Punkte von \(g\) haben die \(x_2\)-Koordinate 3, \(A\) hat die \(x_2\)-Koordinate 0.Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
\( \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ b \end{pmatrix} \) liefert \(r=3, s=5\) und damit \( 18=3b \ \Leftrightarrow \ b=6\)Erläuterung der Lösung
Zuerst müssen wir die Geradengleichung für \( h \) aufstellen. Als Stützvektor wählen wir den Ortsvektor von \( A \), als Richtungsvektor den Verbindungsvektor \( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 4 \\ 1 - 0 \\ b - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ b \end{pmatrix} \)Damit lautet die Geradengleichung \( h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ b \end{pmatrix} \) Da die Geraden einen gemeinsamen Punkt haben, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich: \( \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ b \end{pmatrix} \) Daraus ergibt sich folgendes LGS:
\(\begin{align*} \text{I:} \ \qquad 2 + s &= 4 + r \\ \text{II:} \qquad \qquad 3 &= r \\ \text{III:} \ \ -7 + 5s &= r \cdot b \end{align*}\) Aus Gleichung \(\text{II}\) können wir den Wert für \( r \) direkt ablesen: \( r = 3 \). Wir setzen \( r = 3 \) in Gleichung \(\text{I}\) ein, um den Parameter \( s \) zu bestimmen:
\(\begin{align*} 2 + s &= 4 + 3 \\ 2 + s &= 7 \quad \mid -2 \\ s &= 5 \end{align*}\) Nun setzen wir die beiden gefundenen Werte \( r = 3 \) und \( s = 5 \) in Gleichung \(\text{III}\) ein, um den gesuchten Wert für \( b \) zu berechnen:
\(\begin{align*} -7 + 5 \cdot 5 &= 3 \cdot b \\ -7 + 25 &= 3b \\ 18 &= 3b \quad \mid :3 \\ b &= 6 \end{align*}\) Für den Wert \( b = 6 \) haben die beiden Geraden \( g \) und \( h \) somit einen gemeinsamen Schnittpunkt.