Lösung Parallele und senkrechte Gerade

Die Punkte \( A \) und \( B \) haben die gleiche x-Koordinate und die gleiche z-Koordinate. Da sich nur die y-Koordinate unterscheidet, verläuft die Gerade parallel zur y-Achse.

Alternativ können wir den Richtungsvektor \( \overrightarrow{AB} \) bestimmen:
\( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-2 \\ 3-(-3) \\ 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} = 6 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Da der Richtungsvektor \( \overrightarrow{AB} \) ein Vielfaches des Einheitsvektors der y-Achse ist, ist die Gerade parallel zur y-Achse.

Da der Punkt \( C \) auf der y-Achse liegt, sind seine Koordinaten gegeben durch
\( C(0|c|0)\) mit \(c \in \mathbb{R} \)

Da die Geraden durch \(A\) und \(C\) und \(B\) und \(C\) senkrecht aufeinander stehen, muss das Skalarprodukt der Richtungsvektoren der Geraden gleich null sein. Das heißt es muss gelten:
\(\begin{align*} &\overrightarrow{CA} \circ \overrightarrow{CB} = 0 \\ \Leftrightarrow & \begin{pmatrix} 2 \\ -3-c \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ 3-c \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \\ \Leftrightarrow & \ 2 \cdot 2 + (-3-c) \cdot (3-c) + 1 \cdot 1 = 0 \\ \Leftrightarrow & \ 4 -9 + 3c - 3c + c^2 + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow & \ -4+c^2=0 \\ \Leftrightarrow & \ c^2=4 \quad \mid \sqrt{\phantom{x}} \\ \Leftrightarrow & \ c = \pm 2 \end{align*}\)

Die Koordinaten der Punkte lauten somit \( C_1(0|-2|0) \) und \( C_2(0|2|0) \).