BPE 16.2 Gegenseitige Lage von Geraden

[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die gegenseitige Lage von Geraden untersuchen.

4

[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Koordinaten von Schnittpunkten und Schnittwinkel berechnen.

5

[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Gleichungen von Geraden angeben, die gegebene Lagebeziehungen erfüllen.

6

7

{{aufgabe id="Drei Geraden" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Florian Timmermann" zeit="8"}}

8

Gegeben sind die drei Geraden:

9

10

{{formula}}g_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix}+t_1\cdot\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}}; {{formula}}t_1\in \mathbb{R}{{/formula}}

11

12

{{formula}}g_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix}+t_2\cdot\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}; {{formula}}t_2\in \mathbb{R}{{/formula}}

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{{formula}}g_3:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix}+t_3\cdot\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}{{/formula}}; {{formula}}t_3\in \mathbb{R}{{/formula}}

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16

Bestimme jeweils die gegenseiteige Lage von

17

(%class="abc horiz"%)

18

1. {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_2{{/formula}}

19

1. {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}

20

1. {{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}.

21

22

Berechne ggf. die Koordinaten des Schnittpunkts.

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25

{{aufgabe id="Schnittwinkel" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Frauke Beckstette, Martin Rathgeb, Melanie Storz-Asimus" zeit="4"}}

26

Gegeben sind die Geraden:

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28

{{formula}}g_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix}+t_1\cdot\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}}; {{formula}}t_1\in \mathbb{R}{{/formula}}

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30

{{formula}}g_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 2\end{pmatrix}+t_2\cdot\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}; {{formula}}t_2\in \mathbb{R}{{/formula}}

31

32

(%class=abc%)

33

1. Berechne den Winkel {{formula}}\varphi{{/formula}} zwischen den Richtungsvektoren der Geraden.

34

1. Ermittle den Schnittwinkel {{formula}}\alpha{{/formula}} der Geraden.

35

1. Gib Parallelen zu {{formula}}g_2{{/formula}} an, die mit {{formula}}g_1{{/formula}} den gleichen Schnittwinkel {{formula}}\alpha{{/formula}} wie {{formula}}g_2{{/formula}} haben.

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37

38

{{aufgabe id="Winkelberechnung rückwärts" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Melanie Storz-Asimus, Sebastian Rapp " zeit="5"}}

39

Gegeben sind die Geraden:

40

{{formula}}g:\vec{x}=\begin{pmatrix}-4\\ 0\\ 4\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\ -1\\ k\end{pmatrix}{{/formula}}; {{formula}} t \in R {{/formula}}

41

{{formula}}h:\vec{x}=\begin{pmatrix}-4\\ 0\\ 4\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\ 2\\ -2\end{pmatrix}{{/formula}}; {{formula}} s \in R {{/formula}}

42

43

Bestimme den Parameter k, sodass die Geraden g und h sich im Winkel 60 Grad schneiden. {{/aufgabe}}

44

45

{{aufgabe id="Rückwärts" afb="II" kompetenzen="K5, K6" quelle="Holger Engels" zeit="5"}}

46

Gegeben ist die Gerade //g// durch:

47

48

{{formula}}g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}}

49

50

Bestimme jeweils eine Gerade, die ...

51

(%class=abc%)

52

1. echt parallel zu //g// ist.

53

1. //g// orthogonal schneidet.

54

1. windschief zu //g// ist.

55

56

Erläutere deine Überlegungen.

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59

{{aufgabe id="Verschiebung" afb="I" kompetenzen="K1, K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="5"}}

60

Gegeben sind zwei Geraden g und h durch {{formula}}g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\ 8\\ -6\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}h:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0,1\\ 0,4\\ -0,3\end{pmatrix}{{/formula}}.

61

62

(%class="abc"%)

63

1. Zeige: Die Gerade //h// ist parallel zu Gerade //g//.

64

1. Weise rechnerisch nach, dass die Gerade //h// sich aus der Geraden //g// durch eine Verschiebung mit Vektor {{formula}}\vec{w}=\begin{pmatrix}2\\ 15\\ -11\end{pmatrix}{{/formula}} ergibt.

65

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67

{{aufgabe id="Lagebeziehung mit Parameter" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Melanie Storz-Asimus, Sebastian Rapp " zeit="4"}}

68

Gegeben sind die Geraden:

69

70

{{formula}}g:\vec{x}=\begin{pmatrix}-4\\ 0\\ 4\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\ 4\\ 2\end{pmatrix}{{/formula}}

71

{{formula}}h:\vec{x}=\begin{pmatrix}a\\ 4\\ 6\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\ 8\\ b\end{pmatrix}{{/formula}} {{formula}} t,s \in R {{/formula}}

72

73

Bestimme die Parameter a und b ({{formula}} a,b \in R {{/formula}}), sodass….

74

a) …die Geraden g und h identisch sind.

75

b) …die Geraden g und h parallel sind.

76

c) …die Geraden g und h sich schneiden.

77

78

79

{{aufgabe id="Lagebeziehung" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Sebastian Rapp" zeit="5"}}

80

Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} verläuft parallel zur {{formula}} x_1 {{/formula}}-Achse durch den Punkt {{formula}} A(2|-1|-2) {{/formula}}. Die Gerade {{formula}} h {{/formula}} beinhaltet die Punkte {{formula}} B(2|5|k) {{/formula}} mit {{formula}} k \in R {{/formula}}.

81

Zeige, dass die beiden Geraden {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} windschief sind.

82

83

84

{{aufgabe id="Lage von Geraden im Koordinatensystem" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K6" quelle="Sebastian Rapp" zeit="8"}}

85

[[image:Schnitte von Geraden 2.svg||class="right" width=350]]

86

87

Beurteile die Aussage:

88

//„Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S(2/1/0).“//

89

90

91

{{aufgabe id="Aussagen beurteilen" afb="II" kompetenzen="K1,K2, K6" quelle="Melanie Storz-Asimus, Sebastian Rapp " zeit="5"}}

92

Beurteile die Aussagen.

93

a) Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden im Raum Vielfachen voneinander sind, dann sind die Geraden parallel zueinander.

94

b) Wenn zwei Geraden einen gemeinsamen Punkt haben, dann sind ihre Stützvektoren identisch.

95

c) Hat die Gleichung {{formula}}g=h{{/formula}} für zwei Geraden g und h im Raum keine Lösung, so sind die beiden Geraden g und h windschief zueinander.

96

d) Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden im Raum keine Vielfachen voneinander sind, dann sind die Geraden zueinander windschief.

97

98

99

{{aufgabe id="Parallele und senkrechte Gerade" afb="I, II" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2021MerhoehtAAGLAA212_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}

100

Gegeben sind die Punkte {{formula}}A(2|-3|1){{/formula}} und {{formula}}B(2|3|1){{/formula}}.

101

(%class=abc%)

102

1. Begründe, dass die Gerade durch {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} parallel zur y-Achse verläuft.

103

1. Der Punkt {{formula}}C{{/formula}} liegt auf der y-Achse. Die Gerade durch {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} steht senkrecht zur

104

Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}}. Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punkts {{formula}}C{{/formula}} haben.

wird.

{{aufgabe id="Punkt auf einer Geraden und senkrechte Geraden" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2025MgrundlegendAAGLAA211_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="g" tags="iqb" cc="BY"}}

109

Gegeben ist die Gerade {{formula}} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}s \in \mathbb{R} {{/formula}}.

110

111

(%class=abc%)

112

1. Zeige, dass der Punkt {{formula}} P(4|3|3) {{/formula}} nicht auf {{formula}} g {{/formula}} liegt. Gib die Koordinaten eines Punktes {{formula}} Q {{/formula}} an, der auf {{formula}} g {{/formula}} liegt und sich nur in einer Koordinate von {{formula}} P {{/formula}} unterscheidet.

113

1. Die Gerade {{formula}} h {{/formula}} verläuft parallel zur {{formula}} y {{/formula}}-Achse und schneidet {{formula}} g {{/formula}} im Punkt {{formula}} (8|3|-3) {{/formula}}. Untersuche, ob {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} senkrecht zueinander verlaufen.

K3 wird in 16.7 behandelt. Die Inhalte der BPE 16.2 geben Aufgaben im ABIII nicht her.

118

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{{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="4" menge="3"/}}

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		1	{{seiteninhalt/}}
		2
		3	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die gegenseitige Lage von Geraden untersuchen.
		4	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Koordinaten von Schnittpunkten und Schnittwinkel berechnen.
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		7	{{aufgabe id="Drei Geraden" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Florian Timmermann" zeit="8"}}
		8	Gegeben sind die drei Geraden:
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		10	{{formula}}g_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix}+t_1\cdot\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}{{/formula}}; {{formula}}t_1\in \mathbb{R}{{/formula}}
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		16	Bestimme jeweils die gegenseiteige Lage von
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		18	1. {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_2{{/formula}}
		19	1. {{formula}}g_1{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}
		20	1. {{formula}}g_2{{/formula}} und {{formula}}g_3{{/formula}}.
		21
		22	Berechne ggf. die Koordinaten des Schnittpunkts.
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		32	(%class=abc%)
		33	1. Berechne den Winkel {{formula}}\varphi{{/formula}} zwischen den Richtungsvektoren der Geraden.
		34	1. Ermittle den Schnittwinkel {{formula}}\alpha{{/formula}} der Geraden.
		35	1. Gib Parallelen zu {{formula}}g_2{{/formula}} an, die mit {{formula}}g_1{{/formula}} den gleichen Schnittwinkel {{formula}}\alpha{{/formula}} wie {{formula}}g_2{{/formula}} haben.
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		52	1. echt parallel zu //g// ist.
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		63	1. Zeige: Die Gerade //h// ist parallel zu Gerade //g//.
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		73	Bestimme die Parameter a und b ({{formula}} a,b \in R {{/formula}}), sodass….
		74	a) …die Geraden g und h identisch sind.
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		92	Beurteile die Aussagen.
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		104	Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}}. Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punkts {{formula}}C{{/formula}} haben.
		105	wird.
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		109	Gegeben ist die Gerade {{formula}} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}s \in \mathbb{R} {{/formula}}.
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		111	(%class=abc%)
		112	1. Zeige, dass der Punkt {{formula}} P(4\|3\|3) {{/formula}} nicht auf {{formula}} g {{/formula}} liegt. Gib die Koordinaten eines Punktes {{formula}} Q {{/formula}} an, der auf {{formula}} g {{/formula}} liegt und sich nur in einer Koordinate von {{formula}} P {{/formula}} unterscheidet.
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Wiki-Quellcode von BPE 16.2 Gegenseitige Lage von Geraden