BPE 16.3 Darstellungsformen von Ebenen

1  Normalenvektor  (4 min)

Gegeben sind die Vektoren \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\ 3\\ 4\end{pmatrix}\) und \(\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\ 5\\ 7\end{pmatrix}\).
Berechne die Koordinaten des Vektors \(\vec{n}\), der senkrecht zu den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) steht und die Länge 1 hat.

2  Normalenvektor Ebene  (8 min) 𝕃

Gegeben ist die Ebene \(E\) in Parameterform:

1. Ermittle einen Normalenvektor \(\vec{n}\) für die Ebene \(E\).
2. Zeige rechnerisch, dass der Normalenvektor zu den beiden Spannvektoren orthogonal ist.
3. Ein Mitschüler behauptet: "Mein Normalenvektor lautet \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). Kann mein Ergebnis auch korrekt sein, obwohl es anders aussieht". Entscheide und begründe.

3  Spurgeraden aus Ebene  (8 min)

Gegeben ist die Ebene \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\).

1. Bestimme die Gleichungen der Spurgeraden
2. Zeichne die Ebene mithilfe der Spurgeraden in ein räumliches Koordinatensystem.

4  Koordinatenform Äquivalenzumformung  (2 min) 𝕃

Wenn man bei der Ebenengleichung \(E: 2x_1-4x_2+6x_3=6\) beide Seiten durch zwei teilt:

Ist es dann noch die gleiche Ebene? Erläutere!

5  Koordinatenform Variation  (2 min)

Wenn man bei der Ebenengleichung \(E: 2x_1-4x_2+6x_3=6\) auf der rechten Seite 4 abzieht, was ändert sich an der Lage der Ebene? Erläutere!

6  Parameterform Punkt und Gerade  (9 min)

Bestimme eine Ebenenegleichung, die die Gerade \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und den Punkt \(P(3|-4|2)\) enthält. Zeichne die Ebene in ein räumliches Koordinatensystem.

7  Parameterform zwei Spurpunkte  (3 min)

Eine Ebene hat nur die beiden Spurpunkte \((3|0|0)\) und \((0|4|0)\). Stelle eine Ebenengleichung in Parameterform auf! Gib die besondere Lage der Ebene im Koordinatensystem an.

8  Koordinatenform zwei Spurpunkte  (2 min) 𝕋  𝕃

Eine Ebene hat nur die beiden Spurpunkte \((3|0|0)\) und \((0|4|0)\). Stelle eine Ebenengleichung in Koordinatenform auf!

9  Aufstellen  (4 min)

Stelle jeweils eine Gleichung auf für eine Ebene, die ..

1. parallel ist zur x₁x₂- Ebene
2. parallel ist zur x₁- Achse

10  Arithmagon Formen  (13 min)

Bestimme passende Werte für die Lücken. Beschreibe in den blauen Kästchen, wie Du von einer Darstellungsform zur anderen kommst.

11  Ebene aus Punkten  (8 min) 𝕋  𝕃

Gegeben sind die Punkte \(A(1|3|1)\), \(B(2|2|-4)\), \(C(3|1|1)\) und \(D(4|0|1)\).
Zeige, dass die vier Punkte auf einer gemeinsamen Ebene liegen.

12  Ebene aus Schaubild  (6 min)

In der Abbildung sind Ausschnitte von Ebenen dargestellt. Bestimme jeweils eine Parametergleichung.

13  Ebene aus Geraden  (11 min) 𝕃

Gegeben sind ..

1. zwei parallele Geraden

   \(g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\)

2. zwei sich schneidende Geraden

   \(g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

3. zwei windschiefe Geraden

   \(g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Bestimme, soweit möglich, für jede Teilaufgabe die Gleichung einer Ebene, die die beiden Geraden enthält. Erläutere, warum das in einem Fall nicht möglich ist.

14  Eigenschaften  (13 min) 𝕋  𝕃

Bestimme die Gleichung derjenigen Ebene, die gleichzeitig alle folgenden Eigenschaften erfüllt:

• Sie verläuft durch \(P(1|-3|5)\)
• Ihre Spurpunkte mit der \(x_2\) und \(x_3\)-Achse sind jeweils doppelt so weit vom Ursprung entfernt wie ihr Spurpunkt mit der \(x_1\)-Achse.
• Sie verläuft nicht durch den Koordinatenursprung.

15  Schnittpunkt und Ebenengleichung  (15 min)

Gegeben sind die Geraden
\( g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit \(r \in \mathbb{R} \)
und
\( h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \) mit  \(s \in \mathbb{R} \).

1. Gib die Koordinaten des Schnittpunkts von \( g \) und \( h \) an. Zeige, dass \( g \) und \( h \) senkrecht zueinander verlaufen.
2. Die Ebene \( E \) enthält die Geraden \( g \) und \( h \). Bestimme eine Gleichung von \( E \) in Koordinatenform.