BPE 16.3 Darstellungsformen von Ebenen

1  Normalenvektor  (4 min)

Gegeben sind die Vektoren \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\ 3\\ 4\end{pmatrix}\) und \(\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\ 5\\ 7\end{pmatrix}\).
Berechne die Koordinaten des Vektors \(\vec{n}\), der senkrecht zu den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) steht und die Länge 1 hat.

2  Normalenvektor Ebene  (8 min) 𝕃

Gegeben ist die Ebene \(E\) in Parameterform:

1. Ermittle einen Normalenvektor \(\vec{n}\) für die Ebene \(E\).
2. Zeige rechnerisch, dass der Normalenvektor zu den beiden Spannvektoren orthogonal ist.
3. Ein Mitschüler behauptet: "Mein Normalenvektor lautet \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). Kann mein Ergebnis auch korrekt sein, obwohl es anders aussieht". Entscheide und begründe.

3  Koordinatenform Äquivalenzumformung  (2 min) 𝕃

Wenn man bei der Ebenengleichung \(E: 2x_1-4x_2+6x_3=6\) beide Seiten durch zwei teilt:

Ist es dann noch die gleiche Ebene? Erläutere!

4  Koordinatenform Variation  (2 min)

Wenn man bei der Ebenengleichung \(E: 2x_1-4x_2+6x_3=6\) auf der rechten Seite 4 abzieht, was ändert sich an der Lage der Ebene? Erläutere!

5  Parameterform Punkt und Gerade  (9 min)

Bestimme eine Ebenenegleichung, die die Gerade \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und den Punkt \(P(3|-4|2)\) enthält. Zeichne die Ebene in ein räumliches Koordinatensystem.

6  Arithmagon Formen  (13 min)

Bestimme passende Werte für die Lücken. Beschreibe in den blauen Kästchen, wie Du von einer Darstellungsform zur anderen kommst.

7  Ebene aus Punkten  (8 min) 𝕋  𝕃

Gegeben sind die Punkte \(A(1|3|1)\), \(B(2|2|-4)\), \(C(3|1|1)\) und \(D(4|0|1)\).
Zeige, dass die vier Punkte auf einer gemeinsamen Ebene liegen.

8  Ebene aus Schaubild  (6 min)

In der Abbildung sind Ausschnitte von Ebenen dargestellt. Bestimme jeweils eine Parametergleichung.

9  Ebene aus Geraden  (11 min) 𝕃

Gegeben sind ..

1. zwei parallele Geraden

   \(g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\)

2. zwei sich schneidende Geraden

   \(g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

3. zwei windschiefe Geraden

   \(g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Bestimme, soweit möglich, für jede Teilaufgabe die Gleichung einer Ebene, die die beiden Geraden enthält. Erläutere, warum das in einem Fall nicht möglich ist.

10  Eigenschaften  (13 min) 𝕋  𝕃

Bestimme die Gleichung derjenigen Ebene, die gleichzeitig alle folgenden Eigenschaften erfüllt:

• Sie verläuft durch \(P(1|-3|5)\)
• Ihre Spurpunkte mit der \(x_2\) und \(x_3\)-Achse sind jeweils doppelt so weit vom Ursprung entfernt wie ihr Spurpunkt mit der \(x_1\)-Achse.
• Sie verläuft nicht durch den Koordinatenursprung.