Lösung Ebenen im Raum

1

=== Teilaufgabe a) ===

2

3

{{formula}}3\cdot 1-2\cdot 1{,}5=0{{/formula}}, d. h. der Punkt liegt in {{formula}}E{{/formula}}.

Um zu prüfen, ob der Punkt in der Ebene liegt, führen wir eine Punktprobe durch. Dazu setzen wir den Punkt {{formula}} (1 | 1{,}5 | 7) {{/formula}} in die Koordinatengleichung der Ebene {{formula}} E {{/formula}} ein und erhalten:

9

{{formula}}3 \cdot 1 - 2 \cdot 1{,}5 = 0{{/formula}}

10

11

Der Punkt liegt somit in {{formula}}E{{/formula}}.

=== Teilaufgabe b) ===

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17

{{formula}}E{{/formula}} enthält die z-Achse.

Da die {{formula}}z{{/formula}}-Komponente in der Gleichung nicht vorkommt, bedeutet dies, dass die Ebene parallel zur {{formula}} z {{/formula}}-Achse verläuft (der {{formula}} z {{/formula}}-Wert darf für Punkte in der Ebene beliebig gewählt werden).

23

24

Da die Ebene zudem durch den Ursprung {{formula}}(0|0|0){{/formula}} geht, muss die Ebene {{formula}} E {{/formula}} die {{formula}} z {{/formula}}-Achse vollständig enthalten.

=== Teilaufgabe c) ===

29

30

{{formula}}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ s \\ 1 \end{pmatrix} =6-2s= 0 \ \Leftrightarrow \ s=3{{/formula}}

Zwei Ebenen stehen genau dann senkrecht (orthogonal) zueinander, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen. Das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren {{formula}}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} muss also null ergeben.

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37

38

Wir setzen also das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich null und lösen nach {{formula}}s{{/formula}} auf:

\begin{align*}

&& \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ s \\ 1 \end{pmatrix} &= 0 \\

43

&\Leftrightarrow & 3 \cdot 2 + (-2) \cdot s + 0 \cdot 1 &= 0 \\

44

&\Leftrightarrow & 6 - 2s &= 0 &&\mid +2s \\

45

&\Leftrightarrow & 6 &= 2s &&\mid :2 \\

46

&\Leftrightarrow & s &= 3

\end{align*}

Für {{formula}} s = 3 {{/formula}} steht die Ebene {{formula}} F {{/formula}} senkrecht zur Ebene {{formula}} E {{/formula}}.

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		1	=== Teilaufgabe a) ===
		2	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		3	{{formula}}3\cdot 1-2\cdot 1{,}5=0{{/formula}}, d. h. der Punkt liegt in {{formula}}E{{/formula}}.
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		5
		6
		7	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		8	Um zu prüfen, ob der Punkt in der Ebene liegt, führen wir eine Punktprobe durch. Dazu setzen wir den Punkt {{formula}} (1 \| 1{,}5 \| 7) {{/formula}} in die Koordinatengleichung der Ebene {{formula}} E {{/formula}} ein und erhalten:
		9	{{formula}}3 \cdot 1 - 2 \cdot 1{,}5 = 0{{/formula}}
		10	<br>
		11	Der Punkt liegt somit in {{formula}}E{{/formula}}.
		12	{{/detail}}
		13
		14
		15	=== Teilaufgabe b) ===
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		22	Da die {{formula}}z{{/formula}}-Komponente in der Gleichung nicht vorkommt, bedeutet dies, dass die Ebene parallel zur {{formula}} z {{/formula}}-Achse verläuft (der {{formula}} z {{/formula}}-Wert darf für Punkte in der Ebene beliebig gewählt werden).
		23	<br>
		24	Da die Ebene zudem durch den Ursprung {{formula}}(0\|0\|0){{/formula}} geht, muss die Ebene {{formula}} E {{/formula}} die {{formula}} z {{/formula}}-Achse vollständig enthalten.
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		26
		27
		28	=== Teilaufgabe c) ===
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		33
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		35	Zwei Ebenen stehen genau dann senkrecht (orthogonal) zueinander, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen. Das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren {{formula}}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} muss also null ergeben.
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		37	<p></p>
		38	Wir setzen also das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich null und lösen nach {{formula}}s{{/formula}} auf:
		39	<br>
		40	{{formula}}
		41	\begin{align*}
		42	&& \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ s \\ 1 \end{pmatrix} &= 0 \\
		43	&\Leftrightarrow & 3 \cdot 2 + (-2) \cdot s + 0 \cdot 1 &= 0 \\
		44	&\Leftrightarrow & 6 - 2s &= 0 &&\mid +2s \\
		45	&\Leftrightarrow & 6 &= 2s &&\mid :2 \\
		46	&\Leftrightarrow & s &= 3
		47	\end{align*}
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		50	<p></p>
		51	Für {{formula}} s = 3 {{/formula}} steht die Ebene {{formula}} F {{/formula}} senkrecht zur Ebene {{formula}} E {{/formula}}.
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		53

Wiki-Quellcode von Lösung Ebenen im Raum