Lösung Ebenen im Raum

1.1

1

=== Teilaufgabe a) ===

2

3

{{formula}}3\cdot 1-2\cdot 1{,}5=0{{/formula}}, d. h. der Punkt liegt in {{formula}}E{{/formula}}.

Um zu prüfen, ob der Punkt in der Ebene liegt, führen wir eine Punktprobe durch. Dazu setzen wir den Punkt {{formula}} (1 | 1{,}5 | 7) {{/formula}} in die Koordinatengleichung der Ebene {{formula}} E {{/formula}} ein und erhalten:

9

{{formula}}3 \cdot 1 - 2 \cdot 1{,}5 = 0{{/formula}}

10

11

Der Punkt liegt somit in {{formula}}E{{/formula}}.

=== Teilaufgabe b) ===

16

17

{{formula}}E{{/formula}} enthält die z-Achse.

Da die {{formula}}z{{/formula}}-Komponente in der Gleichung nicht vorkommt, bedeutet dies, dass die Ebene parallel zur {{formula}} z {{/formula}}-Achse verläuft (der {{formula}} z {{/formula}}-Wert darf für Punkte in der Ebene beliebig gewählt werden).

23

24

Da die Ebene zudem durch den Ursprung {{formula}}(0|0|0){{/formula}} geht, muss die Ebene {{formula}} E {{/formula}} die {{formula}} z {{/formula}}-Achse vollständig enthalten.

=== Teilaufgabe c) ===

29

30

{{formula}}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ s \\ 1 \end{pmatrix} =6-2s= 0 \ \Leftrightarrow \ s=3{{/formula}}

Zwei Ebenen stehen genau dann senkrecht (orthogonal) zueinander, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen. Das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren {{formula}}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} muss also null ergeben.

36

37

38

Wir setzen also das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich null und lösen nach {{formula}}s{{/formula}} auf:

\begin{align*}

&& \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ s \\ 1 \end{pmatrix} &= 0 \\

43

&\Leftrightarrow & 3 \cdot 2 + (-2) \cdot s + 0 \cdot 1 &= 0 \\

44

&\Leftrightarrow & 6 - 2s &= 0 &&\mid +2s \\

45

&\Leftrightarrow & 6 &= 2s &&\mid :2 \\

46

&\Leftrightarrow & s &= 3

\end{align*}

Für {{formula}} s = 3 {{/formula}} steht die Ebene {{formula}} F {{/formula}} senkrecht zur Ebene {{formula}} E {{/formula}}.

52

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version	line-number	content
1.1	1	=== Teilaufgabe a) ===
	2	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	3	{{formula}}3\cdot 1-2\cdot 1{,}5=0{{/formula}}, d. h. der Punkt liegt in {{formula}}E{{/formula}}.
	4	{{/detail}}
	5
	6
	7	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	8	Um zu prüfen, ob der Punkt in der Ebene liegt, führen wir eine Punktprobe durch. Dazu setzen wir den Punkt {{formula}} (1 \| 1{,}5 \| 7) {{/formula}} in die Koordinatengleichung der Ebene {{formula}} E {{/formula}} ein und erhalten:
	9	{{formula}}3 \cdot 1 - 2 \cdot 1{,}5 = 0{{/formula}}
	10	<br>
	11	Der Punkt liegt somit in {{formula}}E{{/formula}}.
	12	{{/detail}}
	13
	14
	15	=== Teilaufgabe b) ===
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	17	{{formula}}E{{/formula}} enthält die z-Achse.
	18	{{/detail}}
	19
	20
	21	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	22	Da die {{formula}}z{{/formula}}-Komponente in der Gleichung nicht vorkommt, bedeutet dies, dass die Ebene parallel zur {{formula}} z {{/formula}}-Achse verläuft (der {{formula}} z {{/formula}}-Wert darf für Punkte in der Ebene beliebig gewählt werden).
	23	<br>
	24	Da die Ebene zudem durch den Ursprung {{formula}}(0\|0\|0){{/formula}} geht, muss die Ebene {{formula}} E {{/formula}} die {{formula}} z {{/formula}}-Achse vollständig enthalten.
	25	{{/detail}}
	26
	27
	28	=== Teilaufgabe c) ===
	29	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	30	{{formula}}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ s \\ 1 \end{pmatrix} =6-2s= 0 \ \Leftrightarrow \ s=3{{/formula}}
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	35	Zwei Ebenen stehen genau dann senkrecht (orthogonal) zueinander, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen. Das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren {{formula}}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} muss also null ergeben.
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	37	<p></p>
	38	Wir setzen also das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich null und lösen nach {{formula}}s{{/formula}} auf:
	39	<br>
	40	{{formula}}
	41	\begin{align*}
	42	&& \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ s \\ 1 \end{pmatrix} &= 0 \\
	43	&\Leftrightarrow & 3 \cdot 2 + (-2) \cdot s + 0 \cdot 1 &= 0 \\
	44	&\Leftrightarrow & 6 - 2s &= 0 &&\mid +2s \\
	45	&\Leftrightarrow & 6 &= 2s &&\mid :2 \\
	46	&\Leftrightarrow & s &= 3
	47	\end{align*}
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	49
	50	<p></p>
	51	Für {{formula}} s = 3 {{/formula}} steht die Ebene {{formula}} F {{/formula}} senkrecht zur Ebene {{formula}} E {{/formula}}.
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	54

Wiki-Quellcode von Lösung Ebenen im Raum