Lösung Ebenen im Raum
Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/05/28 15:49
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
\(3\cdot 1-2\cdot 1{,}5=0\), d. h. der Punkt liegt in \(E\).Erläuterung der Lösung
Um zu prüfen, ob der Punkt in der Ebene liegt, führen wir eine Punktprobe durch. Dazu setzen wir den Punkt \( (1 | 1{,}5 | 7) \) in die Koordinatengleichung der Ebene \( E \) ein und erhalten: \(3 \cdot 1 - 2 \cdot 1{,}5 = 0\)Der Punkt liegt somit in \(E\).
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
\(E\) enthält die z-Achse.Erläuterung der Lösung
Da die \(z\)-Komponente in der Gleichung nicht vorkommt, bedeutet dies, dass die Ebene parallel zur \( z \)-Achse verläuft (der \( z \)-Wert darf für Punkte in der Ebene beliebig gewählt werden).Da die Ebene zudem durch den Ursprung \((0|0|0)\) geht, muss die Ebene \( E \) die \( z \)-Achse vollständig enthalten.
Teilaufgabe c)
Erwartungshorizont
\(\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ s \\ 1 \end{pmatrix} =6-2s= 0 \ \Leftrightarrow \ s=3\)Erläuterung der Lösung
Zwei Ebenen stehen genau dann senkrecht (orthogonal) zueinander, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen. Das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren \(\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\) muss also null ergeben. Wir setzen also das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich null und lösen nach \(s\) auf:\(\begin{align*} && \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ s \\ 1 \end{pmatrix} &= 0 \\ &\Leftrightarrow & 3 \cdot 2 + (-2) \cdot s + 0 \cdot 1 &= 0 \\ &\Leftrightarrow & 6 - 2s &= 0 &&\mid +2s \\ &\Leftrightarrow & 6 &= 2s &&\mid :2 \\ &\Leftrightarrow & s &= 3 \end{align*}\) Für \( s = 3 \) steht die Ebene \( F \) senkrecht zur Ebene \( E \).