Lösung Schnittpunkt Ebene Gerade

Um die Schnittgerade von \(E\) mit der \(x_2x_3\)-Ebene zu zeichnen, bestimmen wir zunächst die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (Spurpunkte):

• Schnittpunkt mit der \(x_2\)-Achse (\(x_1 =x_3 =0\)): \(0 + x_2 + 2\cdot 0 = 4 \Leftrightarrow x_2 = 4 \quad \rightarrow S_2(0|4|0) \)
• Schnittpunkt mit der \(x_3\)-Achse (\(x_1 =x_2 =0\)): \(0 + 0 + 2\cdot x_3 = 4 \Leftrightarrow x_3=2 \quad \rightarrow S_3(0|0|2) \)

Wir zeichnen nun eine Gerade, die durch die Punkte  \(S_2(0|4|0)\) und \(S_3(0|0|2)\) geht:

Zunächst stellen wir die einzelnen Koordinaten von \(g\) dar: \(x_1 = 2 + 2\lambda, x_2 = 1 - \lambda, x_3 = -2 - 3\lambda\).
Diese setzen wir in \(E\) ein und stellen nach \(\lambda\) um:
\(\begin{align*} \phantom{\Leftrightarrow} && (2 + 2\lambda) + (1 - \lambda) + 2 \cdot (-2 - 3\lambda) &= 4 \\ \Leftrightarrow && 2 + 2\lambda + 1 - \lambda - 4 - 6\lambda &= 4 \\ \Leftrightarrow && -5\lambda - 1 &= 4 &&| + 1 \\ \Leftrightarrow && -5\lambda &= 5 &&| : (-5) \\ \Leftrightarrow && \lambda &= -1 \end{align*}\)

Dann setzen wir \(\lambda=-1\) in \(g\) ein und erhalten:
\(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 2 \\ 1 + 1 \\ -2 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Der Schnittpunkt ist somit \(P(0 | 2 | 1)\).