Wiki-Quellcode von Lösung Spiegeln

Version 1.1 von Holger Engels am 2026/05/06 15:35

author	version	line-number	content
		1	1. Aufstellen der Lotgeraden //g//
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		3	Die Lotgerade //g// verläuft durch den Punkt //P(0\|0\|0)// und steht senkrecht auf der Ebene //E//. Als Richtungsvektor der Geraden verwenden wir den Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene:
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		5	{{formula}}\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
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		7	//g//: {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 1 \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
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		9	2. Berechnung des Lotfußpunktes //L//
		10	Der Lotfußpunkt //L// ist der Schnittpunkt der Geraden //g// mit der Ebene //E//. Wir setzen die Komponenten von //g// in die Ebenengleichung ein:
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		12	{{formula}}2(2t) - (-t) + (t) = 4{{/formula}}
		13	{{formula}}4t + t + t = 4{{/formula}}
		14	{{formula}}6t = 4 \implies t = \frac{2}{3}{{/formula}}
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		16	//t// einsetzen in //g//: {{formula}}\vec{L} = \frac{2}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/3 \ -2/3 \ 2/3 \end{pmatrix}{{/formula}}
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		18	3. Spiegelung zum Punkt //P'//
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		20	Da //L// genau in der Mitte zwischen //P// und dem Spiegelpunkt //P'// liegt, erreichen wir //P'//, indem wir den doppelten Parameterwert ({{formula}}t = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}{{/formula}}) verwenden:
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		22	{{formula}}\vec{P'} = \vec{P} + 2 \cdot \vec{PL} = 2 \cdot \vec{L}{{/formula}}
		23
		24	{{formula}}\vec{P'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4/3 \ -2/3 \ 2/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8/3 \ -4/3 \ 4/3 \end{pmatrix}{{/formula}}