BPE 16.6 Abstände und Volumina
K5 Ich kann Abstände bestimmen.
K5 K4 Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
1 Abstand zweier Punkte (15 min)
Es sind zwei Punkte P und Q gegeben:
\(P(1|3|5)\), \(Q(1|5|3)\)
Bestimme den Abstand der beiden Punkte.
- Bestimme den Abstand d den Q von P hat.
- Bestimme einen weiteren Punkt R, der ebenfalls den Abstand d zu Punkt P hat.
| AFB II - K1 K6 | Quelle Martin Stern, Dirk Tebbe |
2 Abstand als Minimalproblem (15 min)
Gegeben seien Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(P\) im Raum. Es liegt C nicht auf der Verbindungsgeraden von A/ und B, es liegt P nicht in der Ebene A, B und C. Betrachtet werden die drei Abstände \(d(P;A), \quad d(P;g(A,B)), \quad d(P;E(A,B,C))\).
- Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
\[d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.\]Gib jeweils die passende Menge \(M\) an.
Zeige:
\[\{A\}\subset g(A,B)\subset E(A,B,C).\]Leite daraus eine allgemeine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
Untersuche die Gleichheitsfälle:
- Wann gilt \(d(P;A)=d(P;g(A,B))\)?
- Wann gilt \(d(P;g(A,B))=d(P;E(A,B,C))\)?
Beschreibe die jeweilige Lage von \(P\) geometrisch.
- Beschreibe für die drei Fälle den Punkt \(F\in M\), der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
Formuliere eine allgemeine Aussage:
\[M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).\]Erläutere diese Aussage geometrisch.
| AFB II - K1 K2 K4 K6 | Quelle Martin Rathgeb |